Абсолютное и относительное движение. Сложение ускорений при поступательном переносном движении. Кинематика сложного движения точки

§ 2. 5. Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.

Дополнительно к неподвижным осям Oxyz (система S) введем в рассмотрение некоторое подвижное твердое тело и неизменно связанную с ним систему прямоугольных осей координат O’x’y’z’ (система S’).

Движение точки относительно подвижной системы осей S’ называется относительным движением.

Движение точки относительно неподвижных осей S называется абсолютным движением.

Переносным движением точки за интервал времени (t,t+Dt) называется то движение по отношению к осям S, которая эта точка имела бы, если бы в момент времени t и на интервал (t,t+Dt) она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой.

Траектория, скорость и ускорение называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

Теорема Эйлера: Если относительно системы S система S" имеет одну неподвижную точку, то перемещение S" из одного произвольного положения в любое другое может быть совершено одним поворотом на определенный угол относительно оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Для доказательства достаточно показать возможность перевода одним поворотом дуги, например, .

Теорема Эйлера справедлива и для конечных поворотов и для бесконечно малых. Хотя последовательность бесконечно малых поворотов может быть любой – результат будет тем же, конечные же повороты не коммутируют. Это тем более справедливо для бесконечно малых поворотов, чем ближе дуги, описываемые какой-либо точкой, к хордам, соединяющим концы дуг.

При рассмотрении задач о движении тела с одной закрепленной точкой, которые имеют большое практическое значение, для определения (фиксации) положения системы S" относительно S широко используются три угла Эйлера.

Пересечение плоскостей O"xy и O"x"y" дает прямую, которую называют линией узлов (орт линии узлов - ). Первый угол Эйлера j - угол между осью O"x и линией узлов. Второй угол y - угол между линией узлов и осью O"x". Третий угол q - угол между осями O"z и O"z".

Эти три угла однозначно определяют положение системы S" относительно S

Таким образом, при бесконечно малом повороте системы S" относительно S на углы dj,dy,dq (некоторые из них могут быть равными нулю) их можно заменить одним поворотом на угол dc вокруг некоторой оси, проходящей через точку O".

Введем в рассмотрение вектор бесконечно малого поворота:

(здесь направлен по оси вращения по правилу правого винта)

Величина и направление вектора dc при сложном движении могут изменяться. Ось называется осью мгновенного вращения. Посмотрим, что происходит с ортами системы S" при ее повороте на угол

§ 2. 6. Сложное движение точки.

продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Абсолютная скорость точки (относительно системы S),

Скорость начала координат S" относительно S,

Не является скоростью точки М относительно системы S", так как орты этой системы являются функциями времени.

,

используя формулы (2.5.1) будем иметь:

Последнее слагаемое означает, что производная берется при неизменных ортах системы O’x’y’z’, .

Теперь для скоростей имеем:

здесь v h -переносная, v – абсолютная, v’ – относительная скорость точки, то есть получена связь этих скоростей. Переносная скорость состоит из двух слагаемых: первое присутствует в том случае, если подвижная система отсчета движется поступательно, второе появляется в том случае, если подвижная система отсчета совершает вращение.

Для получения связи ускорений продифференцируем по времени соотношение для скоростей:

Абсолютное ускорение, - ускорение начала координат S’ относительно S.

Введем понятие переносного движения, элементы которого будем обозначать подстрочным индексом «е ». Переносным движением точки будем называть движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта относительной системы, через который в рассматриваемый момент времени проходит движущаяся точка. Понятие переносного движения нуждается в пояснении. Необхо­димо четко различать точку, абсолютное и относительное движение которой рассматривается, от той, неизменно связанной с относи­тельной системой точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. Обычно та и другая точка обо­значены одной буквой М , так как рисунок не передает движения; на самом деле это две различные точки, движущиеся друг по от­ношению к другу.

Остановимся на двух иллюстрациях понятия переносного дви­жения. Если человек идет по движущейся платформе, то можно рассматривать, во-первых, «абсолютное» движение человека по от­ношению к земле, во-вторых, «относительное» его движение по платформе. Переносным движением при этом будет являться движе­ние по отношению к земле того места платформы, по которому проходит в данный момент человек.

Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.

Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:

• абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой СО.
• относительное движение - это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
• переносное движение - это движение второй СО относительно первой.

Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:

В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Кинематика сложного движения точки

Скорость

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть

Кинематика сложного движения тела

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).

Релятивистская механика

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:

в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина - быстрота - которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

Сложное движение точки

О движении тела судят по движению каждой его точки. Ранее мы рассматривали движение точки в некоторой системе координат, которая условно принималась за неподвижную. Однако на практике приходиться решать задачи, в которых известно, как движется точка относительно одной системы координат и требуется выяснить, как она движется относительно другой системы координат, если известно, как эти системы координат движутся друг относительно друга. Чтобы описывать движение точки, переходя от одной системы координат к другой, необходимо установить, как связаны между собой величины, характеризующие движение точки в этих системах. С этой целью одну систему координат принимают условно за неподвижную, а другую за подвижную и вводят понятия абсолютного, относительного и переносного движения точки.

Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат.

Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.

Задачи, в которых задано переносное движение и нужно найти абсолютное движение, называются задачами на сложение движений .

В ряде случаев приходится решать обратную задачу.

Рациональным выбором подвижной системы координат – часто удаётся сложное абсолютное движение точки свести к двум простым: относительному и переносному. Такие задачи называются задачами на разложение движений .

неподвижной системе координат называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительной скоростью и относительным ускорением .

Переносной скоростью и переносным ускорением движущейся точки называют абсолютную скорость и абсолютное ускорение той точки подвижного пространства , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Все полученные ранее результаты для скорости и ускорения полностью применимы к относительному движению, ибо при их выводе мы не накладываем никаких ограничений на выбор системы координат.

Закон сложения скоростей

Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки М в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координат https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg" width="588" height="243">

– закон сложения скоростей.

КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.

Неизменность расстояния между точками твердого тела приводит к зависимости между скоростями отдельных точек. Эта зависимость выражается следующей основной теоремой кинематики твердого тела: проекции скоростей двух любых точек твердого тела на отрезок, их соединяющий, равны.

Для доказательства рассмотрим произвольные точки А и В твердого тела.

Положения точек А и В в пространстве зададим радиусами-векторами и https://pandia.ru/text/78/244/images/image007_36.gif" width="29" height="24 src=">, направление которого в процессе движения тела меняется, а модуль сохраняется постоянным (в силу неизменности расстояния между точками твердого тела). Данный вектор можно представить в виде . Дифференцируя это равенство по времени, получаем

. (2.1)

Для определения вектора заметим, что , где AB модуль вектора . Так как АВ не изменяется с течение времени, то, продифференцировав это равенство по t , получим:

,

т. е..gif" width="29" height="24 src="> направлена перпендикулярно к самому вектору :

Проектируя теперь каждую часть равенства (2..gif" width="37" height="24"> – пр.=0

,

что и доказывает сформулированную теорему.

Поступательное движение твёрдого тела

Рассмотрим вначале простые случаи движения – поступательное движение твёрдого тела и вращение твёрдого тела.

Простейшим видом движения твёрдого тела является такое движение, при котором векторы скорости трёх его точек, не лежащих на одной прямой, равны между собой в каждый момент времени. Определим положение этих точек в некоторый момент времени радиус-векторами:

https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">

Следовательно, векторы не зависят от времени и, следовательно, перемещаются в пространстве, оставаясь параллельными сами себе. Три точки твёрдого тела определяют систему координат, чётко связанную с твёрдым телом. В рассматриваемом случае движение будет таким, что оси будут перемещаться, оставаясь параллельными сами себе. Но это означает, что любая прямая, проведённая в твёрдом теле, остаётся в процессе движения параллельной самой себе. Такое движение называется поступательным (например, движение кабины в аттракционе «колесо обозрения»).

Выберем в твёрдом теле, движущимся поступательно, две произвольные точки А и В.

При поступательном движении АТТ

(2.2)

Поскольку то (2.2) примет вид:

Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: при поступательном движении все точки твёрдого тела имеют в каждый данный момент времени одинаковые векторы скорости.

Продифференцировав по времени уравнение (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)

Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: точки твёрдого тела, движущегося поступательно, имеют в каждый данный момент времени одинаковые ускорения .

Т. к. , траектории точек А и В являются конгруэнтными, т. е. их. можно совместить друг с другом при наложении. Таким образом, траектории, описываемые точками твёрдого тела, движущегося поступательно, одинаковы и одинаково расположены.

Из полученных результатов следует сделать вывод: для описания поступательного движения твёрдого тела достаточно задать движение лишь одной его точки .

Вращение твердого тела

Вращением твёрдого тела называется такой вид движения, при котором, по крайней мере, одна точка твёрдого тела остаётся неподвижной. Рассмотрим, однако, более простой случай – вращение АТТ вокруг неподвижной оси.

Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Закрепим две точки АТТ:. Рассмотрим, как будут двигаться все точки твёрдого тела и научимся определять скорости и ускорения этих точек. Ясно, что точки твёрдого тела, лежащие на прямой, проходящей через две закреплённые точки, двигаться не будут: эту прямую называют неподвижной осью вращения . Движение твёрдого тела, при котором по крайней мере две его точки неподвижны, называют вращением АТТ вокруг неподвижной оси.

Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности, перпендикулярны оси вращения. Следовательно: нам известны траектории всех точек тела. Это позволяет приступить к нахождению скорости любой точки твёрдого тела.

При естественном способе задания движения точки:

Выберем неподвижную систему отсчёта, ось 0 Z которой совпадает с осью вращения. Угол между неподвижной плоскостью X0 Z , проходящей через ось вращения и плоскостью, жёстко связанной с твёрдым телом и проходящей через ось вращения, обозначим через https://pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" width="73" height="31">. Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R.

; ; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> являются постоянными:

Подставив (2.6) в (2.5) получим:

Эта формула неудобна, потому что сюда входит единичный вектор https://pandia.ru/text/78/244/images/image044_12.gif" width="14" height="18 src=">. Он должен входить в формулу для скорости. Для этого проведём следующие преобразования:

используя, что , перепишем соотношение (2.7) в виде

(2.8)

Обозначим:

– не зависит от выбора рассматриваемой точки М; (2.9)

– вектор, проведенный из центра окружности к точке М. (2.10)

Ясно, что модуль равен радиусу окружности.

Подставим (2.9) и (2.10) в (2.8):

https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)

Направления совпадают с направлением единичного вектора касания https://pandia.ru/text/78/244/images/image054_10.gif" width="64" height="29">– линейная скорость точки М. (2.13)

– угловая скорость. (2.14)

Угловая скорость – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Линейная скорость любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости АТТ на радиус-вектор, проведённый из произвольной точки оси вращения, разложим https://pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif" width="145" height="29">. (2.15)

Сравнивая (2.15) и (2.14) получим:

;

Модуль угловой скорости связан с частотой вращения абсолютно твердого тела:

При вращении тела его угловая скорость может изменяться, необходимо уметь определить угловую скорость тела в любой момент времени. Для этого введена величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Эту величину называют угловым ускорением.

Дадим определение углового ускорения.

Пусть в момент времени t угловая скорость . А в момент времени t+∆ t угловая скорость равна . Составим отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит, и найдём предел этого отношения при ∆ t → 0. В механике этот предел называют угловым ускорением тела и обозначают поэтому:

.

Угловое ускорение – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Единицей измерения углового ускорения является https://pandia.ru/text/78/244/images/image068_7.gif" width="273" height="48">.

Для углового ускорения, его проекции на ось 0 Z , модуля углового ускорения справедливы соотношения:

(2.16)

Перепишем выражение для ускорения точки:

(2.17)

Тангенциальное ускорение любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус – вектор этой точки, проведённой из произвольной точки оси вращения.

Вращение твёрдого тела с постоянным угловым ускорением

Посмотрим, как при этом движении запишется кинематическое уравнение движения тела. Вначале получим формулу, по которой в данном случае можно найти угловую скорость тела. Направим ось 0 Z вдоль оси вращения тела.

Так как , то https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (т. к. ) Вращательные движения (физика)" href="/text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">вращательного движения вокруг полюса с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса .

Можно показать, что скорость любой точки тела относительно неподвижной системы координат равна:

– угловое ускорение вращения тела относительно полюса.

Закон сложения ускорений

Формулу, выражающую закон сложения ускорений в сложном движении называют формулой Кориолиса, а выражаемый ею факт – теоремой Кориолиса. Согласно этой теореме абсолютное ускорение точки равно сумме трёх векторов: вектора относительного ускорения, вектора переносного ускорения и вектора, представляющего собой поворотное или кориолисово ускорение:

(2.21)

Оно появляется вследствие двух причин, не учитываемых относительным и переносным ускорениями: не учитывает изменение направления относительной скорости в неподвижном пространстве вследствие вращения подвижной системы координат в переносном движении. не учитывает изменения переносной скорости, получающегося при переходе движущейся точки от одной точки подвижного пространства к другой (этот переход вызван относительным движением).

В следующих случаях:

До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета которую называем основной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними).

Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуz называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении можно движение осей во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе является для точки М переносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ипер), а ускорение этой точки - переносным ускорением точки М (обозначается арер). Таким образом,

Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).

В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перейдем.