Alle egenskaper til integraler. Grunnleggende egenskaper til det ubestemte integralet. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden

Antiderivativ funksjon og ubestemt integral

Fakta 1. Integrasjon er det motsatte av differensiering, nemlig gjenoppretting av en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Funksjonen gjenopprettet på denne måten F(x) er kalt primitiv for funksjon f(x).

Definisjon 1. Funksjon F(x f(x) på et eller annet intervall X, hvis for alle verdier x fra dette intervallet likheten F "(x)=f(x), det vil si denne funksjonen f(x) er derivatet av antiderivatfunksjonen F(x). .

For eksempel funksjonen F(x) = synd x er antiderivatet for funksjonen f(x) = cos x på hele tallinjen, siden for enhver verdi av x (synd x)" = (cos x) .

Definisjon 2. Ubestemt integral av en funksjon f(x) er samlingen av alle antiderivatene. Dette bruker notasjonen

∫

f(x)dx

hvor er skiltet ∫ kalles integrertegnet, funksjonen f(x) er en integrand, og f(x)dx er integranden.

Således, hvis F(x) er noe antiderivat for f(x) , deretter

∫

f(x)dx = F(x) +C

hvor C - vilkårlig konstant (konstant).

For å forstå betydningen av settet med antiderivater av en funksjon som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. La det være en dør (en tradisjonell tredør). Dens funksjon er "å være en dør". Hva er døren laget av? Fra et tre. Dette betyr at settet med antiderivater av integranden "å være en dør", det vil si dens ubestemte integral, er funksjonen "å være et tre + C", der C er en konstant, som i denne sammenheng kan betegne, for for eksempel et treslag. Akkurat som en dør er laget av tre med noen verktøy, er den deriverte av en funksjon "laget" av den antiderivative funksjonen med formel som vi lærte ved å studere den deriverte .

Da er funksjonstabellen til vanlige gjenstander og deres tilsvarende primitiver ("å være en dør" - "å være et tre", "å være en skje" - "å være et metall", etc.) lik tabellen til grunnleggende ubestemte integraler, som vil bli gitt nedenfor. Tabellen med ubestemte integraler viser vanlige funksjoner, og indikerer antiderivatene som disse funksjonene er "laget" fra. Som en del av oppgavene for å finne det ubestemte integralet gis det slike integrander som kan integreres direkte uten spesiell innsats, det vil si i henhold til tabellen over ubestemte integraler. I mer komplekse problemer må integranden først transformeres slik at tabellintegraler kan brukes.

Fakta 2. Å gjenopprette en funksjon som en antiderivativ, må vi ta hensyn til en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke å skrive en liste over antiderivater med forskjellige konstanter fra 1 til uendelig, må du skrive ned et sett med antiderivater med en vilkårlig konstant C, slik: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkludert i uttrykket til antiderivatet, siden antiderivatet kan være en funksjon, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differensiering 4 eller 3 eller en annen konstant forsvinner.

Vi setter integreringsproblemet: for en gitt funksjon f(x) finne en slik funksjon F(x), hvis derivat er lik f(x).

Eksempel 1 Finn mengden antiderivater av en funksjon

Løsning. For denne funksjonen er antiderivatet funksjonen

Funksjon F(x) kalles antiderivat for funksjonen f(x) hvis den deriverte F(x) er lik f(x), eller, som er det samme, differensialen F(x) er lik f(x) dx, dvs.

(2)

Derfor er funksjonen antiderivativ for funksjonen . Det er imidlertid ikke det eneste antiderivatet for . De er også funksjoner

hvor FRA er en vilkårlig konstant. Dette kan verifiseres ved differensiering.

Således, hvis det er en antiderivert for en funksjon, så er det for den et uendelig sett med antideriverte som avviker med en konstant summand. Alle antiderivater for en funksjon er skrevet i skjemaet ovenfor. Dette følger av følgende teorem.

Teorem (formell påstand om faktum 2). Hvis F(x) er antiderivatet for funksjonen f(x) på et eller annet intervall X, deretter et hvilket som helst annet antiderivat for f(x) på samme intervall kan representeres som F(x) + C, hvor FRA er en vilkårlig konstant.

I det følgende eksemplet vender vi oss allerede til tabellen over integraler, som vil bli gitt i avsnitt 3, etter egenskapene til det ubestemte integralet. Vi gjør dette før vi gjør oss kjent med hele tabellen, slik at essensen av ovenstående er tydelig. Og etter tabellen og egenskapene vil vi bruke dem i sin helhet ved integrering.

Eksempel 2 Finn sett med antiderivater:

Løsning. Vi finner sett med antideriverte funksjoner som disse funksjonene er "laget av". Når du nevner formler fra tabellen over integraler, for nå, bare aksepter at det finnes slike formler, og vi vil studere tabellen over ubestemte integraler i sin helhet litt lenger.

1) Bruk av formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi

2) Ved å bruke formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har

3) Siden

deretter i henhold til formel (7) kl n= -1/4 funn

Under integrertegnet skriver de ikke selve funksjonen f, og dets produkt ved differensialen dx. Dette gjøres primært for å indikere hvilken variabel antiderivatet søkes etter. For eksempel,

, ;

her i begge tilfeller er integranden lik , men dens ubestemte integraler i de vurderte tilfellene viser seg å være forskjellige. I det første tilfellet betraktes denne funksjonen som en funksjon av en variabel x, og i den andre - som en funksjon av z .

Prosessen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere den funksjonen.

Den geometriske betydningen av det ubestemte integralet

La det kreves å finne en kurve y=F(x) og vi vet allerede at tangenten til hellingen til tangenten i hvert av punktene er en gitt funksjon f(x) abscisse av dette punktet.

I henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tangenten til hellingen til tangenten i et gitt punkt på kurven y=F(x) lik verdien av derivatet F"(x). Så vi må finne en slik funksjon F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Nødvendig funksjon i oppgaven F(x) er avledet fra f(x). Tilstanden til problemet tilfredsstilles ikke av en kurve, men av en familie av kurver. y=F(x)- en av disse kurvene, og enhver annen kurve kan oppnås fra den ved parallell translasjon langs aksen Oy.

La oss kalle grafen til antiderivertefunksjonen til f(x) integrert kurve. Hvis F"(x)=f(x), deretter grafen til funksjonen y=F(x) er en integralkurve.

Fakta 3. Det ubestemte integralet er geometrisk representert av familien av alle integralkurver som på bildet under. Avstanden til hver kurve fra origo bestemmes av en vilkårlig integrasjonskonstant (konstant). C.

Egenskaper til det ubestemte integralet

Fakta 4. Teorem 1. Den deriverte av et ubestemt integral er lik integranden, og dens differensial er lik integranden.

Fakta 5. Teorem 2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon f(x) er lik funksjonen f(x) opp til en konstant term , dvs.

(3)

Teoremer 1 og 2 viser at differensiering og integrasjon er gjensidig inverse operasjoner.

Fakta 6. Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av fortegnet til det ubestemte integralet , dvs.

Disse egenskapene brukes til å utføre transformasjoner av integralet for å bringe det til en av de elementære integralene og videre beregning.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:

2. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integranden:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

4. En konstant faktor kan tas ut av integrertegnet:

Dessuten, a ≠ 0

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendommen er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

Dessuten, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis da

8. Eiendom:

Hvis da

Faktisk er denne egenskapen et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

Tenk på et eksempel:

Først brukte vi egenskap 5, deretter egenskap 4, så brukte vi antiderivater-tabellen og fikk resultatet.

Algoritmen til vår online integralkalkulator støtter alle egenskapene som er oppført ovenfor og vil enkelt finne en detaljert løsning for din integral.

Disse egenskapene brukes til å utføre transformasjoner av integralet for å bringe det til en av de elementære integralene og videre beregning.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:

2. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integranden:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

4. En konstant faktor kan tas ut av integrertegnet:

Dessuten, a ≠ 0

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendommen er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

Dessuten, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis da

8. Eiendom:

Hvis da

Faktisk er denne egenskapen et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

Tenk på et eksempel:

Først brukte vi egenskap 5, deretter egenskap 4, så brukte vi antiderivater-tabellen og fikk resultatet.

Algoritmen til vår online integralkalkulator støtter alle egenskapene som er oppført ovenfor og vil enkelt finne en detaljert løsning for din integral.

Hovedoppgaven til differensialregning er å finne den deriverte f'(x) eller differensial df=f'(x)dx funksjoner f(x). I integralregning løses det inverse problemet. I henhold til den gitte funksjonen f(x) kreves det for å finne en slik funksjon F(x), hva F'(x)=f(x) eller dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

På denne måten, hovedoppgaven til integralregning er en gjenopprettingsfunksjon F(x) ved den kjente deriverte (differensial) av denne funksjonen. Integralregningen har mange anvendelser innen geometri, mekanikk, fysikk og teknologi. Den gir en generell metode for å finne områder, volumer, tyngdepunkter osv.

Definisjon. FunksjonF(x), , kalles antiderivatet for funksjonenf(x) på settet X hvis det er differensierbart for noen ogF'(x)=f(x) ellerdF(x)=f(x)dx.

Teorem. Enhver kontinuerlig i intervallet [en;b] funksjonf(x) har et antiderivat på dette segmentetF(x).

Teorem. HvisF 1 (x) ogF 2 (x) er to forskjellige antiderivater med samme funksjonf(x) på settet x, så skiller de seg fra hverandre med et konstant ledd, dvs.F 2 (x)=F1x)+C, hvor C er en konstant.

Ubestemt integral, dets egenskaper.

Definisjon. SamletF(x)+C av alle antiderivaterf(x) på settet kalles X et ubestemt integral og betegnes:

I formel (1) f(x)dx kalt integrand,f(x) er integranden, x er integrasjonsvariabelen, men C er integrasjonskonstanten.

Tenk på egenskapene til det ubestemte integralet som følger av definisjonen.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden, differensialen til det ubestemte integralet er lik integraden:

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

3. Konstantfaktoren a (a≠0) kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet:

4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til disse funksjonene:

5. HvisF(x) er antideriverten til funksjonenf(x), så:

6 (invarians av integrasjonsformler). Enhver integrasjonsformel beholder sin form hvis integrasjonsvariabelen erstattes av en hvilken som helst differensierbar funksjon av denne variabelen:

hvoru er en differensierbar funksjon.

Tabell over ubestemte integraler.

La oss ta med grunnleggende regler for integrering av funksjoner.

La oss ta med tabell over grunnleggende ubestemte integraler.(Merk at her, som i differensialregning, bokstaven u kan refereres til som en uavhengig variabel (u=x), og en funksjon av den uavhengige variabelen (u=u(x)).)

Integraler 1 - 17 kalles tabell.

Noen av formlene ovenfor i tabellen over integraler, som ikke har en analog i tabellen over derivater, verifiseres ved å differensiere deres høyre side.

Endring av variabel og integrasjon med deler i det ubestemte integralet.

Integrasjon ved substitusjon (endring av variabel). La det kreves å beregne integralet

Teorem. La funksjonenx=φ(t) er definert og differensierbar på et sett T og la X være settet med verdier til denne funksjonen som funksjonen er definert påf(x). Så hvis på settet X funksjonenf(