Hvordan bestemme tangentiell akselerasjon. Full akselerasjon og dens komponenter. Akselerasjon er tangensiell og normal akselerasjon. Formler og et eksempel på å løse problemet. Forholdet mellom tangensiell akselerasjon og hastighet

.Tangensiell akselerasjon Er en fysisk fysisk størrelse som karakteriserer endringen i hastigheten til et legeme i absolutt verdi, numerisk lik det første derivatet av hastighetsmodulen i tid og rettes tangentielt til banen i samme retning som hastigheten, hvis hastigheten øker, og motsatt av hastigheten, hvis den avtar.

4

Normal akselerasjon

.

T

, (1.2.9)

5.Vinkelakselerasjon Er en vektor fysisk størrelse som karakteriserer endringen i vinkelhastigheten, numerisk lik det første derivatet av vinkelhastigheten med hensyn til tid og rettet langs rotasjonsaksen i samme retning som vinkelhastigheten hvis hastigheten øker, og motsatt til det hvis det avtar.

Sett inn formel (1.2.10)

SI:

Vinkelakselerasjon

Forholdet mellom vinkelegenskaper

roterende kropp og lineær

kjennetegn ved bevegelsen til de individuelle punktene

R

SI:

Etter at tiden har gått
punkt A vil flytte til posisjon A 1 og passere avstanden
vil radiusvektoren rotere i en vinkel
... Sentervinkel basert på lysbue
, i radianmål er lik forholdet mellom buelengden og krumningsradiusen til denne buen:

.

Dette forblir sant i et uendelig lite tidsintervall
:
... Videre, ved å bruke definisjoner, er det lett å få:

; (1.2.11)

Forholdet mellom lineære og vinkelegenskaper

. (1.2.13)

1.1.2. Klassifisering av bevegelser. Kinematiske lover

Kinematiske lover vil bli kalt lover som uttrykker endringen i bevegelses kinematiske egenskaper over tid:

Veiloven
eller
;

Hastighetslov
eller
;

Akselerasjonslov
eller
.

H

Akselerasjon

Akselerasjon av en racerbil i starten 4-5 m / s 2

Akselerasjon av en jetfly under landing

6-8 m /c 2

Fritt fallakselerasjon nær solens overflate 274 m /c 2

Prosjektilakselerasjon i pistolløpet 10 5 m /c 2

Normal akselerasjon bærer informasjon om en endring i hastighetsretningen, det vil si om trekkene til bevegelsesbanen:

- bevegelsen er rett (hastighetsretningen endres ikke);

- bevegelsen er krøllete.

Tangensiell akselerasjon bestemmer hvordan hastighetsmodulen endres over tid. På dette grunnlag er det vanlig å skille mellom følgende typer bevegelse:

- jevn bevegelse (hastighetens absolutte verdi endres ikke);

- akselerert bevegelse

- ujevn - (hastigheten øker)

ny bevegelse
-sakte film

(hastigheten synker).

De enkleste spesielle tilfellene av ujevn bevegelse er bevegelser der

- tangentiell akselerasjon avhenger ikke av tid, forblir konstant under bevegelse - like variabel bevegelse (jevnt akselerert eller like redusert);

eller
- tangentiell akselerasjon endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus - harmonisk oscillerende bevegelse (for eksempel en vekt på en fjær).

Likeledes for roterende bevegelse:

- jevn rotasjon;

- ujevn rotasjon

Ta opp bevegelsestyper mer kompakt

-like akselerert

rotasjon

- bremset ned

ny rotasjon;

- lik

belterotasjon

Torsjonsvibrasjoner (for eksempel en trifilar fjæring - en plate hengende på tre elastiske tråder og vibrerer i et horisontalt plan).

Hvis en av de kinematiske lovene er kjent i analytisk form, kan andre bli funnet, mens to typer problemer er mulige:

Type I - i henhold til en gitt banelov
eller
finn loven om hastighet
eller
og akselerasjonsloven
eller
;

Type II - i henhold til en gitt akselerasjonslov
eller
finn loven om hastighet
eller
og lovens vei
eller
.

Disse problemene er gjensidige inverse og løses basert på bruk av inverse matematiske operasjoner. Den første typen problemer løses på grunnlag av definisjoner, det vil si ved å anvende differensieringsoperasjonen.

- gitt

- ?

- ?
.

Den andre typen problemer løses ved integrering. Hvis hastigheten er den første avledede av banen med hensyn til tid, kan banen med hensyn til hastigheten bli funnet som et antiderivativ. Tilsvarende: akselerasjon er et derivat av hastighet med hensyn til tid, så er hastighet med hensyn til akselerasjon antiderivativ. Matematisk ser disse handlingene slik ut:

- økning av stien i en uendelig liten periode
... For et begrenset intervall fra før integrere:
... Etter integrasjonsreglene
... For å ta integralet på høyre side, må du vite formen på hastighetsloven, altså
... Til slutt, for å finne kroppens posisjon på banen på et vilkårlig tidspunkt, får vi:

, hvor (1.2.14)

- endring i hastighet i en uendelig liten periode
.

For et begrenset intervall fra før :

Punktakselerasjon for alle tre bevegelsesakselerasjonsmåter

Akselerasjon av et punkt karakteriserer endringshastigheten i modul og retning av punkthastigheten.

1. Akselerasjon av et punkt når du spesifiserer bevegelsen på en vektor måte

akselerasjonsvektoren til et punkt er lik det første derivatet av hastigheten eller det andre derivatet av punktets radiusvektor med hensyn til tid. Akselerasjonsvektoren er rettet mot kurvens konkavitet

2. Akselerasjon av et punkt når du spesifiserer bevegelsen på en koordinat måte

Akselerasjonsvektorens størrelse og retning bestemmes ut fra forholdene:

3. Bestemmelse av akselerasjon når du setter bevegelsen på en naturlig måte

Naturlige økser og naturlig trihedron

Naturlige økser. Krumning karakteriserer kurvens krumning (krumning). Så, en sirkel har en konstant krumning, som måles av verdien av K, gjensidig mot radiusen,

Jo større radius, jo mindre krumning, og omvendt. En rett linje kan betraktes som en sirkel med uendelig radius og null krumning. Et punkt representerer en sirkel med radius R \u003d 0 og har en uendelig stor krumning.

En vilkårlig kurve har en variabel krumning. Ved hvert punkt i en slik kurve kan du plukke opp en sirkel med en radius hvis krumning er lik kurvens krumning ved et gitt punkt M (figur 9.2). Mengden kalles krumningsradius på et gitt punkt på kurven. En akse rettet tangentielt i bevegelsesretningen, og en akse rettet langs en radius mot krumningssenteret, kalt de normale, danner naturlige koordinatakser.

Normal og tangensiell punktakselerasjon

Med den naturlige måten å spesifisere bevegelsen på, er akselerasjonen til et punkt lik den geometriske summen av to vektorer, hvorav den ene er rettet langs hovednormalen og kalles normal akselerasjon, og den andre er rettet tangentielt og kalles den tangensielle akselerasjon av punktet.

Projiseringen av akselerasjonen til et punkt på hovednormalen er lik kvadratet til modulen til den melankolske hastigheten delt på kurveradien til banen ved det tilsvarende punktet. Den normale akselerasjonen til et punkt er alltid rettet mot kurvens sentrum og er like stor som denne projeksjonen.

Modulusendring i hastighet er preget av tangensiell (tangentiell) akselerasjon.

de. projeksjonen av akselerasjonen til et punkt på tangenten er lik det andre derivatet av buekoordinaten til tidspunktet eller det første derivatet av den algebraiske verdien av hastigheten til tidspunktet.

Denne projeksjonen har et pluss-tegn hvis retningene for tangensiell akselerasjon og ort faller sammen, og et minustegn hvis de er motsatte.

Når det gjelder en naturlig måte å spesifisere bevegelsen på, når punktets bane er kjent, og derfor dens krumningsradius? når som helst og bevegelsesligningen, kan du finne fremskrivningen av akselerasjonen til punktet på de naturlige aksene:

Hvis a\u003e 0 og\u003e 0 eller a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и > 0 eller a\u003e 0 og< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Spesielle tilfeller.

1. Hvis punktet beveger seg rett og ujevnt, så \u003d, og derfor \u003d 0, a \u003d a.

2. Hvis punktet beveger seg rett og jevnt, \u003d 0, a \u003d 0 og a \u003d 0.

3. Hvis et punkt beveger seg jevnt langs en krøllet bane, så er a \u003d 0 og a \u003d. Med jevn krøllete bevegelse av et punkt har bevegelsesloven formen s \u003d t. Det anbefales å angi en positiv referanseretning i oppgaver avhengig av spesifikke forhold. I tilfelle når 0 \u003d 0, får vi \u003d gt og. Ofte brukt i problemer (når en kropp faller fra en høyde H uten innledende hastighet) formelen

Konklusjon: normal akselerasjon eksisterer bare med krumlinjeformet

32. Klassifisering av et punktes bevegelse ved akselerasjon

hvis de normale og tangentielle akselerasjonene av punktet i løpet av en viss tidsperiode er lik , vil verken retningen eller modulen for hastigheten i løpet av dette intervallet endre seg, dvs. punktet beveger seg jevnt rettlinjet og akselerasjonen er lik null.

hvis den normale akselerasjonen i løpet av en viss tidsperiode ikke er lik null og den tangentielle akselerasjonen til et punkt er lik , endres hastighetsretningen uten å endre dens modul, dvs. punktet beveger seg jevnt bøyd og akselerasjonsmodulen.

Hvis det i et bestemt øyeblikk, beveger punktet seg ikke jevnt, og på dette tidspunktet har modulens hastighet en maksimal, minimum eller minimum monoton endring.

hvis den normale akselerasjonen til et punkt i løpet av en viss tidsperiode er lik null og tangenten ikke er lik , så endres ikke retningen på hastigheten, men dens modul endres, dvs. poenget beveger seg i en rett linje ujevnt. Punktakselerasjonsmodulen i dette tilfellet

Dessuten, hvis retningen til hastighetsvektorene og sammenfaller, så beveges punktet, og hvis de ikke sammenfaller, blir punktets bevegelse redusert.

Hvis det på et eller annet tidspunkt, så beveger punktet seg ikke i en rett linje, men passerer bøyningspunktet til banen, eller modulen til hastigheten forsvinner.

Hvis verken den normale eller tangentielle akselerasjonen i løpet av en viss tidsperiode er lik , endres både retningen og modulen til hastigheten, dvs. poenget gjør en krøllete ujevn bevegelse. Point Acceleration Module

i dette tilfellet, hvis retningen til hastighetsvektorene faller sammen, så beveges akselereringen, og hvis de er motsatte, blir bevegelsen redusert.

Hvis modulen til den tangentielle akselerasjonen er konstant, dvs. , så endres modulen til punkthastigheten proporsjonalt med tiden, dvs. poenget gjør en like bevegelse. Og så

Formelen for hastigheten til en like variabel bevegelse av et punkt;

Ligning av like langt bevegelse av et punkt

Lineær bevegelse, lineær hastighet, lineær akselerasjon.

Flytting (i kinematikk) - en endring i plasseringen av en fysisk kropp i rommet i forhold til den valgte referanserammen. Også kalt forskyvning er en vektor som karakteriserer denne endringen. Har egenskapen additivitet. Lengden på segmentet er bevegelsesmodulen, målt i meter (SI).

Du kan definere et trekk som å endre radiusvektoren til et punkt :.

Bevegelsesmodulen sammenfaller med den kryssede stien hvis og bare hvis bevegelsesretningen ikke endres under bevegelse. I dette tilfellet vil banen være et rett linjestykke. I alle andre tilfeller, for eksempel i krøllete bevegelser, følger det av trekantulikheten at banen er strengt lengre.

Vector D r = r -r 0 trukket fra startposisjonen til bevegelsespunktet til dets posisjon på et gitt tidspunkt (inkrementet av radiusvektoren til punktet over det betraktede tidsintervallet) kalles forskyvning.

I rettlinjet bevegelse sammenfaller forskyvningsvektoren med den tilsvarende delen av banen og forskyvningsmodulen | D r| lik den tilbakelagte avstanden D s.
Lineær hastighet til en kropp i mekanikk

Hastighet

For å karakterisere bevegelsen til et materialpunkt innføres en vektormengde - hastigheten, som er definert som hurtighet bevegelse og hans retning på dette tidspunktet.

La materiellpunktet bevege seg langs en eller annen krøllete bane slik at det for øyeblikket t den tilsvarer radiusvektoren r 0 (fig. 3). Innen kort tid D t punktet vil passere sti D s og vil motta en elementær (uendelig) bevegelse av Dr.

Gjennomsnittlig hastighetsvektor er forholdet mellom trinnet Dr av radiusvektoren til punktet og tidsintervallet D. t:

Retningen til gjennomsnittshastighetsvektoren sammenfaller med retningen til Dr. Med en ubegrenset reduksjon i D t gjennomsnittlig hastighet har en begrensningsverdi, som kalles øyeblikkelig hastighet v:

Den øyeblikkelige hastigheten v er altså en vektormengde lik det første derivatet av radiusvektoren til det bevegelige punktet i forhold til tiden. Siden sekanten i grensen sammenfaller med tangenten, blir hastighetsvektoren v rettet tangentielt til banen i bevegelsesretningen (figur 3). Som D t sti D s vil nærme seg | Dr | mer og mer, så øyeblikkelig hastighet

Dermed er modulen til den øyeblikkelige hastigheten lik den første avledede av banen med hensyn til tid:

Når ujevn bevegelse - den øyeblikkelige hastighetsmodulen endres over tid. I dette tilfellet skalar mengden á vñ - gjennomsnittshastighet ujevn bevegelse:

Fig. 3 innebærer at á vñ\u003e | ávñ |, siden D s \u003e | Dr |, og bare i tilfelle rettlinjet bevegelse

Hvis uttrykk d s \u003d vd t(se formel (2.2)) integreres over tid i området fra t før t+ D t, så finner vi lengden på stien som er krysset av tidspunktet D. t:

Når ensartet bevegelse den numeriske verdien av den øyeblikkelige hastigheten er konstant; så tar uttrykk (2.3) form

Lengden på stien som er krysset av punktet i tidsintervallet fra t 1 til t 2 er gitt av integralet

Akselerasjon og dens komponenter

Ved ujevn trafikk er det viktig å vite hvor raskt hastigheten endres over tid. Den fysiske størrelsen som karakteriserer hastigheten på endring i hastighet i størrelse og retning er akselerasjon.

Ta i betraktning flat bevegelse, de. bevegelse der alle segmenter av banen til et punkt ligger i samme plan. La vektoren v definere hastigheten til punktet OG for øyeblikket t. Under D t flyttepunkt flyttet til posisjon I og fikk en hastighet som er forskjellig fra v både i størrelse og retning og lik v 1 \u003d v + Dv. Flytt vektoren v 1 til punktet OG og finn Dv (fig. 4).

Gjennomsnittlig akselerasjon ujevn bevegelse i området fra t før t + D t kalles en vektormengde lik forholdet mellom hastighetsendringen Dv og tidsintervallet D. t

Øyeblikkelig akselerasjon a (akselerasjon) av et materielt punkt i øyeblikket t det vil være en grense for gjennomsnittlig akselerasjon:

Dermed er akselerasjonen a en vektormengde lik det første derivatet av hastigheten med hensyn til tid.

La oss spalte vektoren Dv i to komponenter. For å gjøre dette, fra poenget OG (Fig. 4) i retning av hastigheten v utsetter vi vektoren, modulo v 1. Åpenbart, vektoren , lik, bestemmer hastighetsendringen over tid D. t mod:. Den andre komponenten i vektoren Dv karakteriserer endringen i hastighet i løpet av tiden D. t i retning.

Tangensiell og normal akselerasjon.

Tangensiell akselerasjon - komponent av akselerasjon, rettet tangentielt til bevegelsesbanen. Sammenfaller med retningen til hastighetsvektoren under akselerert bevegelse og motsatt rettet under retardasjon. Det karakteriserer endringen i hastighetsmodulen. Det er vanligvis betegnet med eller (, etc., i samsvar med hvilken bokstav som er valgt for å betegne akselerasjon generelt i denne teksten).

Noen ganger forstås tangensiell akselerasjon som projeksjonen av den tangentielle akselerasjonsvektoren - som definert ovenfor - på enhetens tangensvektor til banen, som sammenfaller med projeksjonen av (full) akselerasjonsvektoren på enhetens tangensvektor, det vil si den tilsvarende utvidelseskoeffisient i det medfølgende grunnlaget. I dette tilfellet brukes ikke en vektornotasjon, men "skalar" - som vanlig for projeksjon eller vektorkoordinater -.

Størrelsen på den tangentielle akselerasjonen - i betydningen projeksjon av akselerasjonsvektoren på enhetens tangensvektor i banen - kan uttrykkes som følger:

hvor er bakkehastigheten langs banen, som sammenfaller med den absolutte verdien av øyeblikkelig hastighet i et gitt øyeblikk.

Hvis vi bruker betegnelsen for en tangentvektor, kan vi skrive tangensiell akselerasjon i vektorform:

Produksjon

Uttrykket for den tangensielle akselerasjonen kan bli funnet ved å differensiere hastighetsvektoren i tid, representert i formen gjennom enhetens tangensvektor:

der den første termen er tangensiell akselerasjon og den andre er normal akselerasjon.

Her brukte vi notasjonen for enhetens normale vektor til banen og - for den nåværende lengden på banen (); den siste overgangen brukte også det åpenbare

og av geometriske grunner

Sentripetal akselerasjon (normal)- en del av den fulle akselerasjonen av punktet, på grunn av kurvens krumning og materialets punktets bevegelseshastighet langs den. En slik akselerasjon er rettet mot sentrum av kurvekurven, som er årsaken til begrepet. Formelt og i hovedsak sammenfaller begrepet sentripetal akselerasjon som helhet med begrepet normal akselerasjon, men skiller seg bare bare stilistisk (noen ganger historisk).

Spesielt ofte snakker de om sentripetal akselerasjon når det gjelder jevn bevegelse rundt en sirkel eller når de beveger seg mer eller mindre nær dette tilfellet.

Elementær formel

hvor er den normale (sentripetale) akselerasjonen, er den (øyeblikkelige) lineære bevegelseshastigheten langs banen, er den (øyeblikkelige) vinkelhastigheten til denne bevegelsen i forhold til kurvens sentrum, er radius for krumning av banen på et gitt punkt. (Forbindelsen mellom den første formelen og den andre er åpenbar gitt).

Uttrykkene ovenfor inkluderer absolutte verdier. De kan enkelt skrives i vektorform ved å multiplisere med - enhetsvektoren fra kurvens sentrum til banen:

Disse formlene er like anvendelige i tilfelle bevegelse med konstant (i absolutt verdi) hastighet, og i en vilkårlig sak. Imidlertid, i den andre, bør man huske på at sentripetal akselerasjon ikke er en full akselerasjonsvektor, men bare dens komponent vinkelrett på banen (eller, som er den samme, vinkelrett på vektoren med øyeblikkelig hastighet); den fulle akselerasjonsvektoren inkluderer da også den tangentielle komponenten (tangensiell akselerasjon), i retningen som sammenfaller med tangenten til banen (eller, som er den samme, med øyeblikkelig hastighet).

Produksjon

Det faktum at nedbrytningen av akselerasjonsvektoren i komponenter - en langs vektoren som er tangent til banen (tangensiell akselerasjon) og den andre ortogonal til den (normal akselerasjon) - kan være praktisk og nyttig er ganske åpenbart i seg selv. Dette forverres av det faktum at når den beveger seg med en konstant hastighetsverdi, vil den tangentielle komponenten være lik , det vil si i dette viktige spesielle tilfellet er bare den normale komponenten igjen. I tillegg, som du kan se nedenfor, har hver av disse komponentene uttalt riktige egenskaper og struktur, og den normale akselerasjonen inneholder i strukturen til formelen et ganske viktig og ikke-trivielt geometrisk innhold. For ikke å nevne det viktige spesielle tilfellet med bevegelse langs en sirkel (som dessuten kan generaliseres til det generelle tilfellet uten praktisk talt endring).

Alle kroppene som omgir oss er i konstant bevegelse. Bevegelse av legemer i rommet observeres på alle skalaer, begynnende med bevegelsen av elementære partikler i materiens atomer og slutter med den akselererte bevegelsen av galakser i universet. Uansett skjer bevegelsesprosessen med akselerasjon. I denne artikkelen vil vi vurdere konseptet tangentiell akselerasjon i detalj og gi en formel som den kan beregnes etter.

Kinematiske mengder

Før vi snakker om tangentiell akselerasjon, la oss vurdere hvilke mengder som er vanlig å karakterisere vilkårlig mekanisk bevegelse av legemer i rommet.

Først og fremst er det stien L. Den viser hvilken avstand i meter, centimeter, kilometer og så videre, kroppen har reist over en viss periode.

Den andre viktige egenskapen i kinematikk er kroppshastighet. I motsetning til en bane er den en vektorverdi og er rettet langs kroppens bane. Hastighet bestemmer hvor raskt romlige koordinater endres over tid. Formelen for beregningen er:

Hastighet er tidsavledet av stien.

Endelig er det tredje viktige kjennetegnet ved kroppens bevegelse akselerasjon. I følge definisjonen i fysikk er akselerasjon en størrelse som bestemmer hastighetsendringen over tid. Formelen for den kan skrives som:

Akselerasjon, som hastighet, er også en vektormengde, men i motsetning til den er den rettet i retning av hastighetsendring. Akselerasjonsretningen sammenfaller også med vektoren til den resulterende kraften som virker på kroppen.

Bane og akselerasjon

Mange problemer i fysikk vurderes i rammen av rettlinjet bevegelse. I dette tilfellet snakker man som regel ikke om tangentiell akselerasjon av et punkt, men jobber med lineær akselerasjon. Men hvis kroppens bevegelse ikke er lineær, kan den totale akselerasjonen spaltes i to komponenter:

• tangens;
• normal.

Når det gjelder lineær bevegelse, er den normale komponenten lik , derfor snakkes ikke vektorekspansjonen av akselerasjon.

Dermed bestemmer bevegelsesbanen i stor grad arten og komponentene til full akselerasjon. Bevegelsens bane forstås som en imaginær linje i rommet som kroppen beveger seg langs. Enhver krøllete bane fører til utseendet til de ikke-null akselerasjonskomponentene som er nevnt ovenfor.

Bestemmelse av tangentiell akselerasjon

Tangensiell eller, som det også kalles, tangensiell akselerasjon er en komponent av total akselerasjon, som er tangentiell rettet mot bevegelsens bane. Siden hastigheten også er rettet langs banen, sammenfaller den tangensielle akselerasjonsvektoren med hastighetsvektoren.

Ovenfor ble begrepet akselerasjon gitt som et mål på hastighetsendringen. Siden hastighet er en vektor, kan den endres enten i absolutt verdi eller i retning. Den tangentielle akselerasjonen bestemmer bare endringen i hastighetsmodul.

Merk at når det gjelder rettlinjet bevegelse, endrer ikke hastighetsvektoren sin retning, derfor er tangensiell akselerasjon og lineær akselerasjon i samsvar med definisjonen ovenfor den samme verdien.

Få ligningen av tangentiell akselerasjon

Anta at kroppen beveger seg langs en buet bane. Deretter kan hastigheten v¯ ved det valgte punktet vises i følgende form:

Her er v modulen til vektoren v¯, u t ¯ er enhetshastighetsvektoren rettet tangentielt til banen.

Ved å bruke den matematiske definisjonen av akselerasjon får vi:

a¯ \u003d dv¯ / dt \u003d d (v * u t ¯) / dt \u003d dv / dt * u t ¯ + v * d (u t ¯) / dt

Når man fant derivatet, ble egenskapen til produktet av to funksjoner brukt her. Vi ser at den totale akselerasjonen a¯ på det aktuelle punktet tilsvarer summen av to termer. De er henholdsvis punktets tangens og normale akselerasjon.

La oss si noen ord om Det er ansvarlig for å endre hastighetsvektoren, det vil si for å endre kroppens bevegelsesretning langs kurven. Hvis vi eksplisitt beregner verdien av den andre termen, får vi formelen for normal akselerasjon:

a n \u003d v * d (u t ¯) / dt \u003d v 2 / r

Normal akselerasjon er rettet langs normal gjenopprettet til et gitt punkt på kurven. Ved sirkelbevegelse er normal akselerasjon sentripetal.

Ligningen av tangensiell akselerasjon a t ¯ har formen:

Dette uttrykket indikerer at den tangentielle akselerasjonen ikke tilsvarer en retningsendring, men en hastighetsmodul v at på et øyeblikk. Siden den tangentielle akselerasjonen er rettet tangentielt til det betraktede punktet i banen, er den alltid vinkelrett på den normale komponenten.

og full akselerasjonsmodul

Ovenfor ble presentert all informasjon som lar deg beregne gjennom det tangente og normale. Faktisk, siden begge komponentene er gjensidig vinkelrette, danner vektorene deres bena til en rettvinklet trekant, hvis hypotenus er full akselerasjonsvektor. Dette gjør det mulig å skrive formelen for full akselerasjonsmodul i følgende form:

a \u003d √ (a n 2 + a t 2)

Vinkelen θ mellom full akselerasjon og tangensiell akselerasjon kan defineres som følger:

Jo større tangentiell akselerasjon, desto nærmere er retningene for tangential og full akselerasjon.

Forholdet mellom tangensiell og vinkelakselerasjon

En typisk krøllete bane langs hvilken kroppene beveger seg i teknologi og natur er en sirkel. Faktisk skjer bevegelsen av tannhjul, kniver og planeter rundt sin egen akse eller rundt armaturene nøyaktig langs omkretsen. Bevegelsen som tilsvarer denne banen kalles rotasjon.

Rotasjonskinetikken er preget av de samme størrelsene som bevegelseskematikken i en rett linje, men de har en vinkelkarakter. Så, for å beskrive rotasjonen, brukes den sentrale rotasjonsvinkelen θ, vinkelhastigheten ω og akselerasjonen α. For disse mengdene er følgende formler gyldige:

Anta at kroppen har gjort en omdreining rundt rotasjonsaksen i tid t, så for vinkelhastigheten kan vi skrive:

Den lineære hastigheten i dette tilfellet vil være lik:

Hvor r er radiusen til banen. De to siste uttrykkene lar deg skrive formelen for forholdet mellom de to hastighetene:

Nå beregner vi tidsderivatet til venstre og høyre side av likheten, vi får:

På høyre side av likheten er produktet ved sirkelens radius. Venstre side av likheten er endringen i hastighetsmodulen, det vil si den tangentielle akselerasjonen.

Dermed er tangensiell akselerasjon og en lignende vinkelverdi relatert av likheten:

Hvis vi antar at disken roterer, vil tangensiell akselerasjon av et punkt med en konstant verdi på α øke lineært med økende avstand fra dette punktet til rotasjonsaksen r.

Bestemmelse av tangentiell akselerasjon fra en kjent hastighetsfunksjon

Det er kjent at hastigheten til et legeme som beveger seg langs en bestemt kurve i banen er beskrevet av følgende tidsfunksjon:

Det er nødvendig å bestemme formelen for den tangentielle akselerasjonen og finne verdien på tiden t \u003d 5 sekunder.

Først skriver vi formelen for den tangentielle akselerasjonsmodulen:

Det vil si at for å beregne funksjonen a t (t), skal tidsderivatet bestemmes. Vi har:

a t \u003d d (2 * t 2 + 3 * t + 5) / dt \u003d 4 * t + 3

Ved å erstatte tiden t \u003d 5 sekunder i det resulterende uttrykket, kommer vi til svaret: a t \u003d 23 m / s 2.

Merk at grafen over hastighet mot tid i dette problemet er en parabel, mens grafen for tangentiell akselerasjon er en rett linje.

Oppgaven med å bestemme den tangentielle akselerasjonen

Det er kjent at materialet begynner jevnt akselerert rotasjon fra null tid. 10 sekunder etter rotasjonsstart, ble dens sentripetale akselerasjon lik 20 m / s 2. Det er nødvendig å bestemme den tangentielle akselerasjonen til et punkt på 10 sekunder hvis det er kjent at rotasjonsradiusen er 1 meter.

Først skriver vi ned formelen for sentripetal eller normal akselerasjon a c:

Ved å bruke formelen for forholdet mellom lineær og vinkelhastighet får vi:

Med jevn akselerert bevegelse er hastigheten og vinkelakselerasjonen relatert av formelen:

Ved å erstatte ω i likheten for a c får vi:

Lineær akselerasjon gjennom tangentiell akselerasjon uttrykkes som følger:

Ved å erstatte den siste likestillingen i den nest siste, får vi:

a c \u003d a t 2 / r 2 * t 2 * r \u003d a t 2 / r * t 2 \u003d\u003e

a t \u003d √ (a c * r) / t

Den siste formelen, med tanke på dataene fra problemets tilstand, fører til svaret: a t \u003d 0,447 m / s 2.

Tangensiell akselerasjon karakteriserer endringen i hastighet i modul (størrelse) og er rettet tangentielt til banen:

,

hvor  avledet av hastighetsmodulen,  enhetens tangensvektor, sammenfallende i retning med hastighet.

Normal akselerasjon karakteriserer hastighetsendringen i retningen og er rettet langs krumningsradiusen til krumningssenteret til banen på et gitt punkt:

,

hvor R er krumningsradiusen til banen,  enhetens normale vektor.

Akselerasjonsvektorens størrelse kan bli funnet med formelen

.

1.3. Hovedoppgaven til kinematikk

Hovedoppgaven til kinematikk er å finne bevegelsesloven til et materielt punkt. For dette brukes følgende forhold:

;
;
;
;

.

Spesielle tilfeller av rettlinjet bevegelse:

1) ensartet rettlinjet bevegelse :;

2) likeverdig rettlinjet bevegelse:
.

1.4. Rotasjonsbevegelse og dens kinematiske egenskaper

Under rotasjonsbevegelse beveger alle kroppspunkter seg i sirkler, hvis senter ligger på samme rette linje, kalt rotasjonsaksen. For å karakterisere rotasjonsbevegelsen introduseres følgende kinematiske egenskaper (figur 3).

Vinkelbevegelse
 vektor som er numerisk lik kroppens rotasjonsvinkel
under
og rettet langs rotasjonsaksen slik at når man ser langs den, observeres kroppens rotasjon å skje med klokken.

Vinkelhastighet  karakteriserer kroppens rotasjonshastighet og rotasjon, er lik avledningen av rotasjonsvinkelen i forhold til tid og er rettet langs rotasjonsaksen som vinkelforskyvning.

P med roterende bevegelse er følgende formler gyldige:

;
;
.

Vinkelakselerasjon karakteriserer endringshastigheten i vinkelhastigheten over tid, er lik det første derivatet av vinkelhastigheten og er rettet langs rotasjonsaksen:

;
;
.

Avhengighet
uttrykker kroppens rotasjonslov.

Med jevn rotasjon:  \u003d 0,  \u003d const,  \u003d t.

Med lik rotasjon:  \u003d const,
,
.

Rotasjonsperioden og rotasjonsfrekvensen brukes til å karakterisere den ensartede rotasjonsbevegelsen.

Rotasjonsperiode T er tiden for en revolusjon av et legeme som roterer med konstant vinkelhastighet.

Rotasjonsfrekvens  - antall omdreininger som kroppen gjør per tidsenhet.

Vinkelhastigheten kan uttrykkes som følger:

.

Forholdet mellom vinklede og lineære kinematiske egenskaper (fig. 4):

2. Dynamikk av translasjons- og rotasjonsbevegelser

1. Newtons lover Newtons første lov: ethvert legeme er i en tilstand av hvile eller ensartet rettlinjet bevegelse til handling fra andre organer vil bringe det ut av denne tilstanden.

Kropper som ikke er utsatt for ytre påvirkninger kalles frie kropper. Referanserammen assosiert med et fritt legeme kalles den inertielle referanserammen (IFR). I forhold til det vil enhver fri kropp bevege seg jevnt og rettlinjet eller være i ro. Det følger av relativitetsbevegelsen at referanserammen som beveger seg jevnt og rettlinjet med hensyn til IFR, også er IFR. ISO spiller en viktig rolle i alle grener av fysikk. Dette skyldes Einsteins relativitetsprinsipp, ifølge hvilket den matematiske formen til enhver fysisk lov må ha samme form i alle treghetsreferanserammer.

Hovedbegrepene som brukes i dynamikken i translasjonsbevegelse inkluderer kraft, kroppsmasse, momentum i en kropp (kroppssystem).

Med makt en fysisk fysisk størrelse kalles, som er et mål på den mekaniske virkningen av en kropp på en annen. Mekanisk handling forekommer både med direkte kontakt av interagerende legemer (friksjon, støtte reaksjon, vekt, etc.), og gjennom kraftfelteksisterende i rommet (tyngdekraft, Coulomb-krefter osv.). Makt preget av modul, retning og applikasjonspunkt.

Samtidig virkning av flere krefter på kroppen ,,...,kan erstattes av virkningen av den resulterende (resulterende) kraften :

=++...+=.

Masse kroppen kalles en skalar, som er et mål treghet kropp. Under treghet egenskapene til materielle legemer forstås for å bevare hastigheten uendret i fravær av ytre påvirkninger og endre den gradvis (dvs. med en begrenset akselerasjon) under kraftens handling.

Impuls kropp (materialpunkt) er en fysisk fysisk størrelse som er lik produktet av kroppens masse ved hastighet:
.

Momentet til systemet med materielle punkter er lik vektorsummen av momenta for punktene som utgjør systemet:
.

Newtons andre lov: endringshastigheten til kroppens momentum er lik kraften som virker på den:

.

Hvis kroppens masse forblir konstant, er akselerasjonen som ervervet av kroppen i forhold til den treghets referanserammen direkte proporsjonal med kraften som virker på den og omvendt proporsjonal med kroppens masse:

.