Hvordan spaltes en funksjon. Løse grensene ved hjelp av en Taylor-serie. Taylor-serien. Taylor utvidelse av en funksjon

NASA vil starte en ekspedisjon til Mars i juli 2020. Romfartøyet vil levere til Mars en elektronisk transportør med navnene på alle registrerte medlemmer av ekspedisjonen.

Registrering av deltakere er åpen. Få din billett til Mars fra denne lenken.

Hvis dette innlegget løste problemet ditt, eller du bare likte det, kan du dele lenken til det med vennene dine på sosiale nettverk.

En av disse kodevariantene må kopieres og limes inn i koden til websiden din, helst mellom kodene og eller rett etter taggen ... I følge det første alternativet lastes MathJax raskere og reduserer siden mindre. Men det andre alternativet sporer og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringene kontinuerlig.

Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: Legg til en widget som er designet for å sette inn JavaScript-kode fra tredjepart, på nettstedets dashbord, kopier den første eller andre versjonen av lastekoden som er presentert ovenfor i den, og plasser widgeten nærmere begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke nødvendig i det hele tatt fordi MathJax-skriptet er lastet asynkront). Det er alt. Lær nå MathML-, LaTeX- og ASCIIMathML-syntaksen, og du er klar til å legge inn matematiske formler på nettstedets websider.

Nok en nyttårsaften ... frostvær og snøfnugg i vindusruten ... Alt dette fikk meg til å skrive igjen om ... fraktaler, og hva Wolfram Alpha vet om det. Det er en interessant artikkel om dette, som inneholder eksempler på todimensjonale fraktalstrukturer. Her vil vi se på mer komplekse eksempler på 3D-fraktaler.

En fraktal kan visualiseres (beskrevet) som en geometrisk figur eller kropp (noe som betyr at begge er et sett, i dette tilfellet et sett med punkter), hvis detaljer har samme form som den opprinnelige figuren. Det vil si at det er en selvlignende struktur, med tanke på detaljene som med forstørrelse, vil vi se samme form som uten forstørrelse. Mens det er vanlig geometrisk form (ikke en fraktal), når vi zoomer inn, vil vi se detaljer som har en enklere form enn den opprinnelige formen. For eksempel, ved en høy nok forstørrelse, ser en del av ellipsen ut som et linjesegment. Dette skjer ikke med fraktaler: med noen økning i dem, vil vi igjen se den samme komplekse formen, som med hver økning vil gjenta seg igjen og igjen.

Benoit Mandelbrot, grunnleggeren av vitenskapen om fraktaler, skrev i sin artikkel Fraktaler og kunst for vitenskap: "Fraktaler er geometriske former som er like komplekse i detaljene som i deres generelle form. En del av fraktalen vil bli forstørret til størrelsen på helheten, den vil se ut som en helhet, eller nøyaktig, eller kanskje med en liten deformasjon. "

I teorien om funksjonelle serier er det sentrale stedet okkupert av seksjonen viet til utvidelse av en funksjon i en serie.

Dermed stilles problemet: for en gitt funksjon det kreves å finne en slik kraftserie

som konvergerte i et intervall og summen var lik
, de.

= ..

Denne oppgaven kalles problemet med å utvide en funksjon i en kraftserie.

En nødvendig forutsetning for utvidelse av en funksjon i en kraftserieer dens differensiering et uendelig antall ganger - dette følger av egenskapene til konvergerende kraftserier. Denne betingelsen er som regel oppfylt for grunnleggende funksjoner i definisjonsområdet.

Tenk deg funksjonen
har derivater av hvilken som helst rekkefølge. Er det mulig å utvide den i en kraftserie, hvis mulig, hvordan finner du denne serien? Den andre delen av problemet er lettere å løse, og vi begynner med det.

La oss anta at funksjonen
kan representeres som en sum av en kraftserie som konvergerer i intervallet som inneholder punktet x 0 :

= .. (*)

hvor og 0 ,og 1 ,og 2 ,...,og p ,... - udefinerte (ennå) koeffisienter.

Vi setter i likhet (*) verdien x \u003d x 0 , så får vi

.

La oss differensiere kraftserien (*) ord for ord

= ..

og antar her x \u003d x 0 , få

.

Med neste differensiering får vi serien

= ..

antar x \u003d x 0 , få
fra hvor
.

Etter p-fold differensiering, får vi

Innstilling i siste likestilling x \u003d x 0 , få
fra hvor

Så koeffisientene er funnet

,
,
, …,
,….,

erstatte dem i serien (*), får vi

Den resulterende serien heter ved siden av Taylor for funksjon
.

Dermed har vi slått fast det hvis funksjonen kan utvides i en kraftserie i krefter (x - x 0 ), så er denne utvidelsen unik, og den resulterende serien er nødvendigvis en Taylor-serie.

Merk at Taylor-serien kan fås for enhver funksjon som har derivater av hvilken som helst rekkefølge på punktet x \u003d x 0 . Men dette betyr ikke at et likhetstegn kan settes mellom funksjonen og den resulterende serien, dvs. at summen av serien er lik den opprinnelige funksjonen. For det første kan en slik likhet bare være fornuftig i konvergensregionen, og Taylor-serien oppnådd for funksjonen kan avvike, og for det andre, hvis Taylor-serien konvergerer, kan det hende at summen ikke faller sammen med den opprinnelige funksjonen.

3.2. Tilstrekkelige forhold for utvidelse av en funksjon i en Taylor-serie

La oss formulere en uttalelse ved hjelp av hvilken oppgaven du vil løse.

Hvis funksjonen
i et eller annet nabolag til punktet x 0 har derivater opp til (n+ 1) av ordre inkludert, så i dette nabolagetformel skredder

hvorR n (x)er resten av Taylor-formelen - har formen (Lagrange-form)

hvor punktumξ ligger mellom x og x 0 .

Merk at det er en forskjell mellom Taylor-serien og Taylor-formelen: Taylor-formelen er en endelig sum, dvs. p - fast nummer.

Husk at summen av serien S(x) kan defineres som grensen for den funksjonelle sekvensen av delsummer S p (x) i noen intervaller X:

.

Følgelig betyr å utvide en funksjon i en Taylor-serie å finne en serie slik som for alle xX

Vi skriver Taylors formel i form, hvor

Legg merke til det
definerer feilen vi får, erstatt funksjonen f(x) polynom S n (x).

Hvis en
deretter
,de. funksjonen utvides til en Taylor-serie. Omvendt, hvis
deretter
.

Dermed har vi bevist et kriterium for å utvide en funksjon i en Taylor-serie.

For at funksjonen i noen intervallerf(x) utvidet til en Taylor-serie, er det nødvendig og tilstrekkelig at på dette intervallet
hvorR n (x) er resten av Taylor-serien.

Ved å bruke det formulerte kriteriet kan man oppnå tilstrekkeligvilkår for at funksjonen skal utvides i en Taylor-serie.

Hvis inoen nabolag av punktet x 0 de absolutte verdiene til alle derivater av funksjonen er avgrenset av det samme tallet M≥ 0, dvs.

, to i dette nabolaget utvides funksjonen i en Taylor-serie.

Fra ovenstående følger det algoritmefunksjonsnedbrytning f(x) i Taylor-serieni nærheten av punktet x 0 :

1. Finn derivatene til funksjonen f(x):

f (x), f ’(x), f” (x), f ’” (x), f (n) (x), ...

2. Vi beregner verdien av funksjonen og verdiene til dens derivater på punktet x 0

f (x 0 ), f ’(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’” (x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Skriv formelt ned Taylor-serien og finn konvergensregionen til den resulterende kraftserien.

4. Vi sjekker oppfyllelsen av tilstrekkelige betingelser, dvs. vi etablerer for hvilke xfra konvergensregionen, resten R n (x) har en tendens til null kl
eller
.

Utvidelsen av funksjoner i en Taylor-serie i henhold til denne algoritmen kalles utvidelse av funksjonen i en Taylor-serie per definisjoneller direkte spaltning.

Hvis funksjonen f (x) har derivater av alle ordrer i et intervall som inneholder punktet a, kan Taylor-formelen brukes på den:
,
hvor r n - den såkalte resten eller resten av serien, det kan estimeres ved hjelp av Lagrange-formelen:
, hvor tallet x er mellom x og a.

Oppføringsregler for funksjon:

Hvis for noen verdi x r n→ 0 for n→ ∞, i grensen blir Taylor-formelen for denne verdien til en konvergent taylor-serien:
,
Dermed kan funksjonen f (x) utvides i en Taylor-serie på det betraktede punktet x hvis:
1) den har derivater av alle ordrer;
2) den konstruerte serien konvergerer på dette punktet.

For a \u003d 0 får vi en serie som heter i nærheten av Maclaurin:
,
Utvidelse av de enkleste (elementære) funksjonene i Maclaurin-serien:
Veiledende funksjoner
, R \u003d ∞
Trigonometriske funksjoner
, R \u003d ∞
, R \u003d ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Actgx-funksjonen utvides ikke i kraften til x siden ctg0 \u003d ∞
Hyperboliske funksjoner


Logaritmiske funksjoner
, -1
Binomial-serien
.

Eksempel 1. Utvid en funksjon i en kraftserie f (x) \u003d2 x.
Beslutning... La oss finne verdiene til funksjonen og dens derivater ved x=0
f (x) = 2 x, f (0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2 xln2, f "(0) = 2 0 ln2 \u003d ln2;
f "" (x) = 2 x ln 2 2, f "" (0) = 2 0 ln 2 2 \u003d ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n2, f (n) (0) = 2 0 ln n2 \u003d ln n2.
Ved å erstatte de oppnådde verdiene av derivatene i Taylor-serieformelen får vi:

Konvergensradiusen til denne serien er lik uendelig, så denne utvidelsen er gyldig for -∞<x<+∞.

Eksempel 2. Skriv Taylor-serien med krefter ( x+4) for funksjonen f (x) \u003de x.
Beslutning... Finn derivatene til funksjonen e x og deres verdier på det punktet x=-4.
f (x) \u003d e x, f (-4) \u003d e -4 ;
f "(x) \u003d e x, f "(-4) \u003d e -4 ;
f "" (x) \u003d e x, f "" (-4) \u003d e -4 ;
…
f (n) (x) \u003d e x, f (n) ( -4) \u003d e -4 .
Derfor har den nødvendige Taylor-serien av funksjonen formen:

Denne nedbrytningen er også gyldig for -∞<x<+∞.

Eksempel nr. 3. Utvid funksjon f (x)\u003d ln x i en serie med krefter ( x-1),
(dvs. i Taylor-serien i nærheten av punktet x=1).
Beslutning... Finn derivatene til denne funksjonen.
f (x) \u003d lnx ,,,,

f (1) \u003d ln1 \u003d 0, f "(1) \u003d 1, f" "(1) \u003d - 1, f" "" (1) \u003d 1 * 2, ..., f (n) \u003d (- 1) n-1 (n-1)!
Ved å erstatte disse verdiene i formelen får vi den nødvendige Taylor-serien:

Ved hjelp av d'Alembert-testen kan man sørge for at serien konvergerer for ½x-1½<1 . Действительно,

Serien konvergerer hvis ½ x-1½<1, т.е. при 0<x<2. При x\u003d 2 får vi en vekslende serie som tilfredsstiller betingelsene i Leibniz-testen. For x \u003d 0 er funksjonen udefinert. Dermed er konvergensdomenet i Taylor-serien det halvåpne intervallet (0; 2].

Eksempel 4. Utvid funksjonen i en kraftserie.
Beslutning... I utvidelsen (1) erstatter vi x med -x 2, vi får:
, -∞

Eksempel 5. Utvid Maclaurin-seriefunksjonen .
Beslutning... Vi har
Ved hjelp av formel (4) kan vi skrive:

erstatter i stedet for x i formelen -x, får vi:

Herfra finner vi: ln (1 + x) -ln (1-x) \u003d -
Å utvide parentesene, omorganisere seriens vilkår og gjøre en reduksjon av lignende vilkår, får vi
... Denne serien konvergerer i intervallet (-1; 1), siden den er hentet fra to serier, som hver konvergerer i dette intervallet.

Kommentar .
Formler (1) - (5) kan også brukes til å utvide de tilsvarende funksjonene i en Taylor-serie, dvs. for utvidelse av funksjoner i positive heltalskrefter ( ha). For å gjøre dette, over en gitt funksjon, er det nødvendig å utføre slike identiske transformasjoner for å oppnå en av funksjonene (1) - (5), i stedet for å x koster k ( ha) m, hvor k er et konstant tall, m er et positivt heltall. Det er ofte praktisk å endre variabelen t=ha og utvide den resulterende funksjonen med hensyn til t i en Maclaurin-serie.

Denne metoden er basert på unikhetssetningen for utvidelse av en funksjon i en kraftserie. Essensen av denne teoremet er at det i nærheten av samme punkt ikke kan oppnås to forskjellige kraftserier som konvergerer til samme funksjon, uansett hvordan utvidelsen utføres.

Eksempel nr. 5a. Utvid funksjonen i en Maclaurin-serie, angi regionen for konvergens.
Beslutning. Finn først 1-x-6x 2 \u003d (1-3x) (1 + 2x) ,.
i elementær:

Fraksjonen 3 / (1-3x) kan sees på som summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon med nevneren 3x, hvis | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

med konvergensregionen | x |< 1/3.

Eksempel 6. Utvid funksjonen i en Taylor-serie i nærheten av punktet x \u003d 3.
Beslutning... Dette problemet kan løses, som før, ved å bruke definisjonen av Taylor-serien, som det er nødvendig å finne derivatene av funksjonen og deres verdier ved x\u003d 3. Imidlertid vil det være lettere å bruke den eksisterende nedbrytningen (5):
=
Den resulterende serien konvergerer ved eller –3

Eksempel nr. 7. Skriv Taylor-serien i krefter (x -1) av funksjonen ln (x + 2).
Beslutning.


Serien konvergerer ved, eller -2< x < 5.

Eksempel nr. 8. Utvid funksjonen f (x) \u003d sin (πx / 4) i en Taylor-serie i nærheten av punktet x \u003d 2.
Beslutning... La oss gjøre erstatningen t \u003d x-2:

Ved å bruke utvidelse (3), der vi erstatter π / 4 t i stedet for x, får vi:

Den resulterende serien konvergerer til en gitt funksjon ved -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Dermed,
, (-∞

Omtrentlig beregning ved bruk av Power Series

• hvis den resulterende serien veksler med tegn, brukes følgende egenskap: for en vekslende serie som tilfredsstiller Leibniz-forholdene, overstiger ikke resten av serien i absolutt verdi den første forkastede termen.
• hvis en gitt rad er konstant i tegnet, sammenlignes en rad sammensatt av kasserte medlemmer med en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
• generelt, for å estimere resten av Taylor-serien, kan man bruke Lagrange-formelen: a x ).

Eksempel 1. Beregn ln (3) til nærmeste 0,01.
Beslutning... La oss bruke nedbrytningen, der x \u003d 1/2 (se eksempel 5 i forrige emne):

La oss sjekke om vi kan forkaste resten etter de tre første vilkårene for utvidelsen, for dette estimerer vi det ved å bruke summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon:

Så vi kan forkaste denne resten og få

Eksempel 2. Beregn til nærmeste 0,0001.
Beslutning... La oss bruke binomial-serien. Siden 5 3 er den nærmeste kuben i et heltall til 130, anbefales det å representere tallet 130 som 130 \u003d 5 3 +5.



siden allerede den fjerde termen i den oppnådde alternerende serien som tilfredsstiller Leibniz-kriteriet, er mindre enn den nødvendige nøyaktigheten:
Derfor kan den og medlemmene som følger den kastes.
Mange praktisk nødvendige bestemte eller upassende integraler kan ikke beregnes ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen, fordi dens anvendelse er assosiert med å finne et antiderivativ, som ofte ikke har uttrykk i elementære funksjoner. Det hender også at det å finne det antiderivative er mulig, men unødvendig arbeidskrevende. Imidlertid, hvis integranden kan utvides til en kraftserie, og grensene for integrering hører til konvergensintervallet til denne serien, er en omtrentlig beregning av integralen med en forhåndsbestemt nøyaktighet mulig.

Dermed finner vi
.

Eksempel 4. Evaluer integralet ∫ 0 1 4 e x 2 til nærmeste 0,001.
Beslutning.
... La oss sjekke om vi kan forkaste resten etter den andre perioden av den resulterende serien.
0,0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Utvidelse av elementære funksjoner i Taylor-serien og

Maclaurin

La oss vise at hvis en vilkårlig funksjon er definert på settet
, i nærheten av punktet
har mange derivater og er summen av en kraftserie:

da kan koeffisientene i denne serien bli funnet.

Innbytter i kraftserien
... Deretter
.

Finn det første avledede av funksjonen
:

Når
:
.

For det andre derivatet får vi:

Når
:
.

Fortsetter denne prosedyren n når vi får:
.

Dermed fikk vi en kraftserie av skjemaet:

,

som kalles ved siden av Taylor for funksjon
i nærheten av punktet
.

Et spesielt tilfelle av Taylor-serien er maclaurin-serien på
:

Resten av Taylor (Maclaurin) -serien oppnås ved å kaste fra hovedradene n første medlemmer og betegnet som
... Så funksjonen
kan skrives som summen n tidlige medlemmer av et nummer
og resten
:,

.

Resten er vanligvis
uttrykt i forskjellige formler.

En av dem er i form av Lagrange:

hvor
.
.

Merk at i praksis brukes Maclaurin-serien oftere. Dermed for å skrive funksjonen
som en sum av en kraftserie, er det nødvendig:

1) finn koeffisientene til Maclaurin (Taylor) -serien;

2) finn konvergensregionen til den resulterende kraftserien;

3) bevis at den gitte serien konvergerer til funksjonen
.

Setning1 (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for konvergensen av Maclaurin-serien). La serien av konvergens
... For at denne serien skal konvergere i intervallet
å fungere
, er det nødvendig og tilstrekkelig for at tilstanden skal være oppfylt:
i det angitte intervallet.

Setning 2. Hvis derivatene av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen
i noen intervaller
begrenset i absolutt verdi av det samme tallet M, dvs
, deretter i dette intervallet funksjonen
kan utvides til en Maclaurin-serie.

Eksempel1 . Utvid i en Taylor-serie i nærheten av et punkt
funksjon.

Beslutning.

.

, ;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensregion
.

Eksempel2 . Utvid funksjon i Taylor-serien i nærheten av poenget
.

Beslutning:

Finn verdien av funksjonen og dens derivater ved
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Vi erstatter disse verdiene på rad. Vi får:

eller
.

La oss finne regionen for konvergens i denne serien. I følge d'Alembert-funksjonen konvergerer serien hvis

.

Derfor, for enhver denne grensen er mindre enn 1, og derfor vil konvergensområdet for serien være:
.

La oss se på flere eksempler på utvidelse i en Maclaurin-serie med grunnleggende grunnleggende funksjoner. Husk at Maclaurin-serien:

.

konvergerer på intervallet
å fungere
.

Merk at det er nødvendig å utvide funksjonen til en serie:

a) finn koeffisientene til Maclaurin-serien for denne funksjonen;

b) beregne konvergensradien for den resulterende serien;

c) bevise at den resulterende serien konvergerer til funksjonen
.

Eksempel 3.Tenk på funksjonen
.

Beslutning.

La oss beregne verdien av funksjonen og dens derivater ved
.

Da er de numeriske koeffisientene i serien:

for alle n.Erstatt de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få:

Finn konvergensradiusen til den resulterende serien, nemlig:

.

Følgelig konvergerer serien på intervallet
.

Denne serien konvergerer til funksjonen for eventuelle verdier fordi til enhver tid
funksjon og dets derivater i absolutt verdi er begrenset av antallet .

Eksempel4 . Tenk på funksjonen
.

Beslutning.

:

Det er lett å se at derivatene av jevn orden
og derivatene er av ulik rekkefølge. Erstatt de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få utvidelsen:

La oss finne intervallet for konvergens av denne serien. På grunnlag av d'Alembert:

for alle ... Følgelig konvergerer serien på intervallet
.

Denne serien konvergerer til funksjonen
, fordi alle dets derivater er begrenset til en.

Eksempel5 .
.

Beslutning.

La oss finne verdien av funksjonen og dens derivater ved
:

Dermed er koeffisientene til denne serien:
og
Følgelig:

På samme måte som forrige serie, konvergensregionen
... Serien konvergerer til funksjonen
, fordi alle dets derivater er begrenset til en.

Merk at funksjonen
odd og serieutvidelse i odde krefter, funksjon
- jevn og serieutvidelse i jevne krefter.

Eksempel6 . Binomial-serien:
.

Beslutning.

La oss finne verdien av funksjonen og dens derivater ved
:

Dette viser at:

Erstatt disse verdiene til koeffisientene i Maclaurin-serien og få utvidelsen av denne funksjonen i en kraftserie:

Finn konvergensradiusen til denne serien:

Følgelig konvergerer serien på intervallet
... På grensepunktene kl
og
serien kan eller ikke konvergerer avhengig av eksponenten
.

Serien som studeres konvergerer i intervallet
å fungere
, det vil si summen av serien
på
.

Eksempel7 . La oss utvide funksjonen i en Maclaurin-serie
.

Beslutning.

For å utvide denne funksjonen i en serie bruker vi binomierserien til
... Vi får:

Basert på egenskapen til kraftserier (kraftserien kan integreres i regionen for dens konvergens), finner vi integralen til venstre og høyre side av denne serien:

La oss finne regionen for konvergens av denne serien:
,

det vil si at regionen for konvergens i denne serien er intervallet
... La oss definere konvergensen av serien ved endene av intervallet. Når

... Denne raden er en harmonisk rad, det vil si at den avviker. Når
vi får en nummerserie med et felles begrep
.

Leibniz-serien konvergerer. Dermed er regionen for konvergens i denne serien intervallet
.

16.2. Bruke Power Series i omtrentlige beregninger

I omtrentlige beregninger spiller kraftserier en ekstremt viktig rolle. Med deres hjelp ble det laget tabeller over trigonometriske funksjoner, tabeller over logaritmer, verditabeller for andre funksjoner, som brukes i forskjellige kunnskapsfelt, for eksempel i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. I tillegg er utvidelse av funksjoner i en kraftserie nyttig for deres teoretiske studie. Hovedproblemet ved bruk av kraftserier i omtrentlige beregninger er problemet med å estimere feilen når summen av en serie erstattes med summen av den første nmedlemmer.

Vurder to tilfeller:

funksjonen utvides til vekslende serier;

funksjonen utvides til en konstant serie.

Beregning ved hjelp av vekslende serier

La funksjonen
utvidet til en alternerende kraftserie. Når du beregner denne funksjonen for en bestemt verdi vi får en numerisk serie som Leibniz-testen kan brukes på. I samsvar med denne funksjonen, hvis summen av serien erstattes av summen av den første nvilkår, da overgår den absolutte feilen ikke den første perioden av resten av denne serien, det vil si:
.

Eksempel8 . Regne ut
nøyaktig til 0,0001.

Beslutning.

Vi skal bruke Maclaurin-serien til
som erstatter vinkelens verdi i radianer:

Hvis vi sammenligner første og andre termer i serien med en gitt nøyaktighet, så:

Den tredje utvidelsesperioden:

mindre enn spesifisert beregningsnøyaktighet. Derfor å beregne
det er nok å forlate to medlemmer av serien, altså

.

Dermed
.

Eksempel9 . Regne ut
med en nøyaktighet på 0,001.

Beslutning.

Vi vil bruke formelen for binomierserien. For å gjøre dette, skriv
som:
.

I dette uttrykket
,

La oss sammenligne hvert av medlemmene i serien med den angitte nøyaktigheten. Det er klart det
... Derfor å beregne
det er nok å forlate tre medlemmer av serien.

eller
.

Beregning ved bruk av positive serier

Eksempel10 . Beregn tallet nøyaktig til 0,001.

Beslutning.

På rad for funksjonen
erstatning
... Vi får:

La oss estimere feilen som oppstår når summen av serien erstattes av summen av den første medlemmer. La oss skrive ned den åpenbare ulikheten:

det vil si 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

I henhold til tilstandens tilstand må du finne nslik at følgende ulikhet holder:
eller
.

Det er lett å sjekke det for n= 6:
.

Følgelig
.

Eksempel11 . Regne ut
med en nøyaktighet på 0,0001.

Beslutning.

Merk at for å beregne logaritmene, kan man bruke en serie for funksjonen
, men denne serien konvergerer veldig sakte, og for å oppnå den gitte nøyaktigheten ville det være nødvendig å ta 9999 vilkår! Derfor brukes som regel en serie for funksjonen for å beregne logaritmene
som konvergerer på intervallet
.

La oss beregne
bruker denne raden. La være
deretter .

Følgelig
,

For å beregne
med en gitt nøyaktighet tar vi summen av de fire første begrepene:
.

Resten av raden
kast. La oss estimere feilen. Det er åpenbart at

eller
.

I serien som ble brukt til beregningen var det altså nok å ta bare de første fire begrepene i stedet for 9999 i serien for funksjonen
.

Selvtest spørsmål

1. Hva er en Taylor-serie?

2. Hvilken type hadde Maclaurin-serien?

3. Formuler en teorem om utvidelse av en funksjon i en Taylor-serie.

4. Skriv Maclaurin-serien utvidelse av hovedfunksjonene.

5. Angi områdene for konvergens i den vurderte serien.

6. Hvordan estimerer du feilen i omtrentlige beregninger ved bruk av kraftserier?

Hvis funksjonen f (x) har på noe intervall som inneholder poenget og, derivater av alle ordrer, så kan Taylor-formelen brukes på den:

hvor r n - den såkalte resten eller resten av serien, kan det estimeres ved hjelp av Lagrange-formelen:

, hvor tallet x er mellom x og og.

Hvis for noen verdi x r n®0 for n® ¥, så blir Taylor-formelen i denne grensen for denne verdien til en konvergent taylor-serien:

Så funksjonen f (x) kan utvides til en Taylor-serie på det aktuelle punktet x, hvis en:

1) den har derivater av alle ordrer;

2) den konstruerte serien konvergerer på dette punktet.

Når og\u003d 0 får vi en serie kalt i nærheten av Maclaurin:

Eksempel 1 f (x) \u003d2 x.

Beslutning... La oss finne verdiene til funksjonen og dens derivater ved x=0

f (x) = 2 x, f (0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2 xln2, f ¢ (0) = 2 0 ln2 \u003d ln2;

f ¢¢ (x) = 2 x ln 2 2, f ¢¢ (0) = 2 0 ln 2 2 \u003d ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n2, f (n) (0) = 2 0 ln n2 \u003d ln n2.

Ved å erstatte de oppnådde verdiene av derivatene i Taylor-serieformelen får vi:

Konvergensradien for denne serien er lik uendelig; derfor er denne utvidelsen gyldig for - ¥<x<+¥.

Eksempel 2 x+4) for funksjonen f (x) \u003de x.

Beslutning... Finn derivatene til funksjonen e x og deres verdier på det punktet x=-4.

f (x) \u003d e x, f (-4) \u003d e -4 ;

f ¢ (x) \u003d e x, f ¢ (-4) \u003d e -4 ;

f ¢¢ (x) \u003d e x, f ¢¢ (-4) \u003d e -4 ;

f (n) (x) \u003d e x, f (n) ( -4) \u003d e -4 .

Derfor har den nødvendige Taylor-serien av funksjonen formen:

Denne utvidelsen er også gyldig i - ¥<x<+¥.

Eksempel 3 ... Utvid funksjon f (x)\u003d ln x i en serie med krefter ( x-1),

(dvs. i Taylor-serien i nærheten av punktet x=1).

Beslutning... Finn derivatene til denne funksjonen.

Ved å erstatte disse verdiene i formelen får vi den nødvendige Taylor-serien:

Ved hjelp av d'Alembert-testen kan man sørge for at serien konvergerer for

½ x-1½<1. Действительно,

Serien konvergerer hvis ½ x-1½<1, т.е. при 0<x<2. При x\u003d 2 får vi en vekslende serie som tilfredsstiller betingelsene i Leibniz-testen. Når x\u003d 0 funksjon er udefinert. Dermed er konvergensdomenet i Taylor-serien det halvåpne intervallet (0; 2].

La oss presentere utvidelsene som er oppnådd på en lignende måte i Maclaurin-serien (dvs. i nærheten av punktet x\u003d 0) for noen grunnleggende funksjoner:

(2) ,

(3) ,

(den siste nedbrytningen kalles binomial-serien)

Eksempel 4 ... Utvid en funksjon i en kraftserie

Beslutning... I utvidelse (1) erstatter vi x på - x 2, vi får:

Eksempel 5 ... Utvid Maclaurin-seriefunksjonen

Beslutning... Vi har

Ved hjelp av formel (4) kan vi skrive:

erstatter xinn i formelen –X, vi får:

Herfra finner vi:

Å utvide parentesene, omorganisere vilkårene i serien og gjøre en reduksjon av lignende vilkår, får vi

Denne serien konvergerer i intervallet

(-1; 1), siden den er hentet fra to serier, som hver konvergerer i dette intervallet.

Kommentar .

Formler (1) - (5) kan også brukes til å utvide de tilsvarende funksjonene i en Taylor-serie, dvs. for utvidelse av funksjoner i positive heltalskrefter ( ha). For å gjøre dette, over en gitt funksjon, er det nødvendig å utføre slike identiske transformasjoner for å oppnå en av funksjonene (1) - (5), i stedet for å xkoster k ( ha) m, hvor k er et konstant tall, m er et positivt heltall. Det er ofte praktisk å endre variabelen t=ha og utvide den resulterende funksjonen med hensyn til t i en Maclaurin-serie.

Denne metoden illustrerer teoremet om det unike ved utvidelsen av en funksjon i en kraftserie. Essensen av denne teoremet er at det i nærheten av samme punkt ikke kan oppnås to forskjellige kraftserier som konvergerer til samme funksjon, uansett hvordan utvidelsen utføres.

Eksempel 6 ... Utvid en funksjon i en Taylor-serie i et nabolag av et punkt x=3.

Beslutning... Dette problemet kan løses, som før, ved å bruke definisjonen av Taylor-serien, som det er nødvendig å finne derivatene av funksjonen og deres verdier ved x\u003d 3. Imidlertid vil det være lettere å bruke den eksisterende nedbrytningen (5):

Den resulterende serien konvergerer for eller –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Eksempel 7 ... Skriv Taylor-serien med krefter ( x-1) funksjoner .

Beslutning.

Serien konvergerer kl , eller 2< x£ 5.