Kinematikk av kroppens rotasjonsbevegelse rundt en fast akse. Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp. Hovedelementene i kinematikken til ujevn rotasjonsbevegelse

I naturen og teknologien møter vi ofte manifestasjonen av rotasjonsbevegelsen til stive kropper, for eksempel sjakter og gir. Hvordan denne typen bevegelse er beskrevet i fysikk, hvilke formler og ligninger som brukes til dette, dekkes disse og andre spørsmål i denne artikkelen.

Hva er rotasjon?

Hver av oss representerer intuitivt hva slags bevegelse som vil bli diskutert. Rotasjon er en prosess der et legeme eller et materialpunkt beveger seg langs en sirkulær bane rundt en bestemt akse. Fra et geometrisk synspunkt er en stiv kropp en rett linje, hvor avstanden forblir uendret under bevegelsen. Denne avstanden kalles rotasjonsradiusen. I det følgende vil vi betegne det med bokstaven r. Hvis rotasjonsaksen går gjennom kroppens massesenter, kalles den sin egen akse. Et eksempel på rotasjon rundt sin egen akse er den tilsvarende bevegelsen til solsystemets planeter.

For at rotasjonen skal finne sted, må det være en sentripetal akselerasjon, som oppstår på grunn av sentripetal kraft. Denne kraften er rettet fra kroppens massesenter til rotasjonsaksen. Naturen til sentripetal kraft kan være veldig forskjellig. Så på en kosmisk skala spiller tyngdekraften sin rolle, hvis kroppen er festet med en tråd, vil strekkraften til sistnevnte være sentripetal. Når kroppen roterer rundt sin egen akse, spilles sentripetalkraftens rolle av det interne elektrokjemiske samspillet mellom elementene som utgjør kroppen (molekyler, atomer).

Det er nødvendig å forstå at uten tilstedeværelse av sentripetal kraft, vil kroppen bevege seg i en rett linje.

Fysiske størrelser som beskriver rotasjon

For det første er dette dynamiske egenskaper. Disse inkluderer:

  • impulsmoment L;
  • treghetsmoment I;
  • moment of force M.

For det andre er dette kinematiske egenskaper. La oss liste dem:

  • rotasjonsvinkel θ;
  • vinkelhastighet ω;
  • vinkelakselerasjon α.

La oss kort beskrive hver av de nevnte mengdene.

Impulsøyeblikket bestemmes av formelen:

Der p er en lineær impuls, m er massen til et materialpunkt, v er dens lineære hastighet.

Treghetsmomentet til et materielt punkt beregnes ved hjelp av uttrykket:

For en hvilken som helst kropp med kompleks form, beregnes verdien av I som den integrerte summen av treghetsmomentene til materielle punkter.

Momentet for kraft M beregnes som følger:

Her er F den ytre kraften, d er avstanden fra applikasjonspunktet til rotasjonsaksen.

Den fysiske betydningen av alle størrelser hvis navn inneholder ordet "øyeblikk", ligner betydningen av de tilsvarende lineære størrelsene. For eksempel viser et kraftmoment evnen til en påført kraft til å kommunisere til et system av roterende kropper.

Kinematiske egenskaper er matematisk bestemt av følgende formler:

Som det fremgår av disse uttrykkene, er vinkelegenskapene like i sin betydning som lineære (hastigheter v og akselerasjon a), bare de gjelder for en sirkulær bane.

Rotasjonsdynamikk

I fysikk utføres studien av en stiv kropps rotasjonsbevegelse ved hjelp av to deler av mekanikken: dynamikk og kinematikk. La oss starte med dynamikken.

Dynamikk studerer eksterne krefter som virker på et system av roterende kropper. Vi vil umiddelbart skrive ned ligningen for en stiv kropps rotasjonsbevegelse, og deretter analysere dens bestanddeler. Så denne ligningen ser ut som:

Som virker på systemet, som har treghetsmomentet I, forårsaker utseendet til vinkelakselerasjonen α. Jo mindre verdien av I er, desto lettere er det ved hjelp av et bestemt øyeblikk M å spinne systemet opp til høye hastigheter på korte perioder. For eksempel er en metallstang lettere å rotere langs sin akse enn vinkelrett på den. Imidlertid er den samme stangen lettere å rotere rundt en akse vinkelrett på den og passerer gjennom massesenteret enn gjennom enden.

Bevaringsloven for mengden L

Denne verdien ble introdusert ovenfor, den kalles vinkelmomentet. Ligningen til rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme, presentert i forrige avsnitt, er ofte skrevet i en annen form:

Hvis øyeblikket til eksterne krefter M virker på systemet i løpet av tiden dt, forårsaker det en endring i systemets vinkelmoment med verdien dL. Følgelig, hvis kreftøyeblikket er , så er L \u003d konst. Dette er loven om bevaring av mengden L. For det, ved å bruke forholdet mellom lineær og vinkelhastighet, kan vi skrive:

L \u003d m * v * r \u003d m * ω * r 2 \u003d I * ω.

I fravær av et øyeblikk av krefter er produktet av vinkelhastigheten og treghetsmomentet konstant. Denne fysiske loven brukes av skatere i deres forestillinger eller kunstige satellitter, som må roteres rundt sin egen akse i åpent rom.

Sentripetal akselerasjon

Ovenfor, når man studerer rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme, er denne mengden allerede beskrevet. Naturen til sentripetale krefter ble også lagt merke til. Her vil vi bare supplere denne informasjonen og presentere de tilsvarende formlene for å beregne denne akselerasjonen. La oss betegne det med c.

Siden sentripetalkraften er rettet vinkelrett på aksen og passerer gjennom den, skaper den ikke et øyeblikk. Det vil si at denne kraften absolutt ikke har noen innvirkning på de kinematiske egenskapene til rotasjon. Imidlertid skaper det sentripetal akselerasjon. Her er to formler for definisjonen:

Dermed, jo større vinkelhastighet og radius, jo mer kraft må påføres for å holde kroppen på en sirkulær bane. Et godt eksempel på denne fysiske prosessen er en bil som sklir i svinger. Skliing skjer når sentripetalkraften, hvis rolle spilles av friksjonskraften, blir mindre enn sentrifugalkraften (treghetskarakteristikk).

Tre hoved kinematiske egenskaper ble oppført ovenfor i artikkelen. en solid kropp er beskrevet av følgende formler:

θ \u003d ω * t \u003d\u003e ω \u003d konst., α \u003d 0;

θ \u003d ω 0 * t + α * t 2/2 \u003d\u003e ω \u003d ω 0 + α * t, α \u003d konst.

Den første linjen inneholder formler for jevn rotasjon, som antar fraværet av et ytre kreftmoment som virker på systemet. Den andre linjen inneholder formler for jevnt akselerert bevegelse langs en sirkel.

Merk at rotasjon kan oppstå ikke bare med en positiv akselerasjon, men også med en negativ. I dette tilfellet, i formlene til den andre linjen, setter du et minustegn foran andre periode.

Et eksempel på å løse problemet

Et dreiemoment på 1000 N * m virket på metallakselen i 10 sekunder. Å vite at treghetsmomentet til akselen er 50 kg * m 2, er det nødvendig å bestemme vinkelhastigheten som det nevnte kraftmomentet ga akselen.

Ved hjelp av den grunnleggende rotasjonsligningen beregner vi akselerasjonen til akselen:

Siden denne vinkelakselerasjonen virket på akselen i en tid t \u003d 10 sekunder, bruker vi formelen for jevn akselerert bevegelse for å beregne vinkelhastigheten:

ω \u003d ω 0 + α * t \u003d M / I * t.

Her ω 0 \u003d 0 (akselen roterte ikke før handlingen av kreftmomentet M).

Vi erstatter de numeriske verdiene til størrelsene i likheten, vi får:

ω \u003d 1000/50 * 10 \u003d 200 rad / s.

For å konvertere dette tallet til vanlige omdreininger per sekund, må du dele det med 2 * pi. Etter å ha utført denne handlingen finner vi at akselen vil rotere med en frekvens på 31,8 o / min. / S.

Rotasjonen av et stivt legeme rundt en fast akse kalles en slik bevegelse der to punkter i kroppen forblir ubevegelig under hele bevegelsestiden. I dette tilfellet forblir alle kroppspunkter på en rett linje som går gjennom de faste punktene også urørlige. Denne linjen heter kroppens rotasjonsakse .

La punkt A og B fikses. Rett aksen langs rotasjonsaksen. Gjennom rotasjonsaksen tegner vi et fast plan og et bevegelig, festet til et roterende legeme (ved).

Plassering av planet og selve kroppen bestemmes av den tovinklede vinkelen mellom flyene og. La oss utpeke det. Vinkelen kalles kroppsrotasjonsvinkel .

Kroppens posisjon i forhold til den valgte referanserammen bestemmes unikt når som helst når ligningen er gitt, hvor er en to ganger differensierbar funksjon av tiden. Denne ligningen kalles rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse .

Et legeme som roterer rundt en fast akse har en grad av frihet, siden posisjonen bestemmes ved å spesifisere bare en parameter - vinkelen.

En vinkel betraktes som positiv hvis den er tegnet mot klokken, og negativ i motsatt retning. Banene til kroppens punkter når den roterer rundt en fast akse er sirkler plassert i plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

For å karakterisere rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse, introduserer vi begrepene vinkelhastighet og vinkelakselerasjon.

Algebraisk vinkelhastighet kroppen når som helst i tiden kalles første gangs avledede av rotasjonsvinkelen i det øyeblikket, det vil si.

Vinkelhastigheten er en positiv verdi når kroppen roterer mot klokken, siden rotasjonsvinkelen øker med tiden, og negativ når kroppen roterer med urviseren, fordi rotasjonsvinkelen avtar.

Dimensjonen til vinkelhastigheten per definisjon:

I ingeniørfag er vinkelhastighet rotasjonshastigheten uttrykt i omdreininger per minutt. I løpet av ett minutt vil kroppen snu gjennom en vinkel, der n er antall omdreininger per minutt. Å dele denne vinkelen med antall sekunder på et minutt, får vi

Algebraisk vinkelakselerasjon av et legeme første gangs derivat av vinkelhastigheten kalles, det vil si det andre derivatet av rotasjonsvinkelen, dvs.

Dimensjon av vinkelakselerasjon per definisjon:

La oss introdusere begrepene vektorer med vinkelhastighet og vinkelakselerasjon av en kropp.

Og hvor er enhetsvektoren til rotasjonsaksen. Vektorer og kan tegnes til alle punkter i rotasjonsaksen, de er skyvevektorer.

Algebraisk vinkelhastighet er projeksjonen av vinkelhastighetsvektoren på rotasjonsaksen. Algebraisk vinkelakselerasjon er projeksjonen av vinkelhastighetsvektoren på rotasjonsaksen.


Hvis klokka øker algebraisk vinkelhastighet med tiden, og derfor roterer kroppen med en akselerert hastighet for øyeblikket i positiv retning. Retningen til vektorene og sammenfaller, begge er rettet mot den positive siden av rotasjonsaksen.

På og roterer kroppen med akselerasjon i negativ retning. Retningene til vektorene og sammenfaller, begge er rettet mot den negative siden av rotasjonsaksen.

Denne artikkelen beskriver en viktig del av fysikken - "Kinematics and dynamics of rotational motion".

Grunnleggende konsepter for kinematikk med roterende bevegelse

Rotasjonsbevegelsen til et materialpunkt rundt en fast akse kalles en slik bevegelse, hvis bane er en sirkel plassert i et plan vinkelrett på aksen, og dens sentrum ligger på rotasjonsaksen.

Rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme er en bevegelse der alle kroppens punkter beveger seg langs konsentriske (sentrene som ligger på samme akse) sirkler i samsvar med regelen for rotasjonsbevegelse av et materialpunkt.

La et vilkårlig stivt legeme T rotere rundt O-aksen, som er vinkelrett på tegningen. Vi velger punkt M på denne kroppen. Når du roterer, vil dette punktet beskrive en sirkel rundt O-aksen med en radius r.

Etter en stund vil radiusen rotere i forhold til utgangsposisjonen med en vinkel Δφ.

Retningen til høyre skrue (med klokken) blir tatt som den positive rotasjonsretningen. Endringen i rotasjonsvinkelen over tid kalles ligningen for en stiv kropps rotasjonsbevegelse:

φ \u003d φ (t).

Hvis φ måles i radianer (1 rad er vinkelen som tilsvarer en lysbue med en lengde lik radien), er lengden på den sirkelbuen AS, som materialpunktet M vil passere i løpet av tiden AT, lik:

ΔS \u003d Δφr.

Hovedelementene i kinematikken til jevn rotasjonsbevegelse

Et mål på bevegelsen av et materielt punkt på kort tid dt fungerer som en elementær rotasjonsvektor dφ.

Vinkelhastigheten til et materialpunkt eller legeme er en fysisk størrelse som bestemmes av forholdet mellom vektoren til en elementær sving og varigheten av denne svingen. Retningen til vektoren kan bestemmes av regelen om høyre skrue langs aksen O. I skalar form:

ω \u003d dφ / dt.

Hvis en ω \u003d dφ / dt \u003d konst,da kalles denne bevegelsen ensartet rotasjonsbevegelse. Med den bestemmes vinkelhastigheten av formelen

ω \u003d φ / t.

I henhold til den foreløpige formelen, dimensjonen til vinkelhastigheten

[ω] \u003d 1 rad / s.

Ensartet rotasjonsbevegelse av et legeme kan beskrives av en rotasjonsperiode. Rotasjonsperioden T er en fysisk størrelse som bestemmer tiden kroppen rundt rotasjonsaksen gjør en fullstendig omdreining ([T] \u003d 1 s). Hvis vi i formelen for vinkelhastigheten tar t \u003d T, φ \u003d 2 π (en full omdreining av radius r), så

ω \u003d 2π / T,

derfor er rotasjonsperioden definert som følger:

T \u003d 2π / ω.

Antall omdreininger som kroppen gjør per tidsenhet kalles rotasjonsfrekvensen ν, som er lik:

ν \u003d 1 / T.

Frekvensenheter: [v] \u003d 1 / c \u003d 1 s -1 \u003d 1 Hz.

Sammenligning av formlene for vinkelhastighet og rotasjonsfrekvens, får vi et uttrykk som knytter disse størrelsene:

ω \u003d 2πν.

Hovedelementene i kinematikken til ujevn rotasjonsbevegelse

Den ujevne rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme eller materialpunkt rundt en fast akse er preget av vinkelhastigheten, som endres med tiden.

Vector ε , som karakteriserer endringshastigheten i vinkelhastigheten, kalles vinkelakselerasjonsvektoren:

ε \u003d dω / dt.

Hvis kroppen roterer, akselererer det altså dω / dt\u003e 0, har vektoren en retning langs aksen i samme retning som ω.

Hvis rotasjonsbevegelsen reduseres - dω / dt< 0 , så er vektorene ε og ω motsatt rettet.

Kommentar... Når en ujevn rotasjonsbevegelse oppstår, kan vektoren change endre seg ikke bare i størrelse, men også i retning (når rotasjonsaksen roteres).

Forholdet mellom mengdene som kjennetegner den translasjonelle og rotasjonsbevegelsen

Det er kjent at buelengden med radiusens rotasjonsvinkel og dens verdi er relatert av forholdet

ΔS \u003d Δφ r.

Deretter den lineære hastigheten til et materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

υ \u003d ΔS / Δt \u003d Δφr / Δt \u003d ωr.

Den normale akselerasjonen til et materialpunkt som utfører en rotasjons translasjonsbevegelse er definert som følger:

a \u003d υ 2 / r \u003d ω 2 r 2 / r.

Så, i skalarform

a \u003d ω 2 r.

Tangensielt akselerert materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

a \u003d ε r.

Moment av et materielt punkt

Vektorproduktet til radiusvektoren til banen til et materielt massepunkt m i sitt moment kalles vinkelmomentet til dette punktet i forhold til rotasjonsaksen. Retningen til vektoren kan bestemmes ved hjelp av riktig skrueregel.

Momentum av et materielt punkt ( L i) er rettet vinkelrett på planet tegnet gjennom r i og u i, og danner med dem en høyre trippel av vektorer (det vil si når du beveger deg fra enden av vektoren r itil υ i høyre skrue viser retningen på vektoren L Jeg).

I skalarform

L \u003d m i υ i r i sin (υ i, r i).

Tatt i betraktning at når vi beveger oss i en sirkel, er radiusvektoren og vektoren for lineær hastighet for det i-materialet punktet gjensidig vinkelrett,

sin (υ i, r i) \u003d 1.

Så vinkelmomentet til et materialpunkt for rotasjonsbevegelse vil ta form

L \u003d m i υ i r i.

Momentet av kraft som virker på det materielle punktet

Vektorproduktet til radiusvektoren, som er trukket til kraftens påføringspunkt, til denne kraften kalles kraftmomentet som virker på det i-th materialpunktet i forhold til rotasjonsaksen.

I skalarform

M i \u003d r i F i sin (r i, F i).

Vurderer r i sinα \u003d l i,M i \u003d l i F i.

Kvantiteten l i, lik lengden på den vinkelrette vinkelen fra rotasjonspunktet til kraftens virkningsretning, kalles kraftens skulder F i.

Rotasjonsdynamikk

Ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelse skrives som følger:

M \u003d dL / dt.

Lovenes formulering er som følger: endringshastigheten til vinkelmomentet til et legeme som roterer rundt en fast akse er lik det resulterende momentet i forhold til denne aksen av alle ytre krefter som påføres kroppen.

Impulsmoment og treghetsmoment

Det er kjent at for det i-th materialpunktet er vinkelmomentet i skalar form gitt av formelen

L i \u003d m i υ i r i.

Hvis vi i stedet for den lineære hastigheten erstatter dens uttrykk gjennom vinkelhastigheten:

υ i \u003d ωr i,

så tar uttrykket for vinkelmomentet form

L i \u003d m i r i 2 ω.

Kvantiteten I i \u003d m i r i 2kalles treghetsmomentet rundt aksen til det i-materielle punktet til et absolutt stivt legeme som går gjennom massesenteret. Så skriver vi vinkelmomentet til et materielt punkt:

L i \u003d I i ω.

Vi skriver momentumet til et absolutt stivt legeme som summen av momentene til de materielle punktene som utgjør den gitte kroppen:

L \u003d Iω.

Kraftmoment og treghetsmoment

Loven om rotasjonsbevegelse sier:

M \u003d dL / dt.

Det er kjent at kroppens vinkelmoment kan representeres i form av treghetsmomentet:

L \u003d Iω.

M \u003d Idω / dt.

Tatt i betraktning at vinkelakselerasjonen bestemmes av uttrykket

ε \u003d dω / dt,

vi får formelen for kraftmomentet, representert i form av treghetsmomentet:

M \u003d Iε.

Kommentar. Et kraftmoment betraktes som positivt hvis vinkelakselerasjonen som den forårsakes er større enn , og omvendt.

Steiners teorem. Loven om tillegg av treghetsmomenter

Hvis kroppens rotasjonsakse ikke passerer gjennom massesenteret, kan man i forhold til denne aksen finne treghetsmomentet ved Steiners teorem:
I \u003d I 0 + ma 2,

hvor Jeg 0 - kroppens første treghetsmoment; m - kroppsmasse; en - avstanden mellom aksene.

Hvis systemet som roterer rundt den faste aksen består av n organer, vil det totale treghetsmomentet til denne typen system være lik summen av øyeblikkene som utgjør det (loven om tillegg av treghetsmomentene).

Translasjonell kalles en bevegelse av et stivt legeme der enhver rett linje, alltid forbundet med denne kroppen, forblir parallell med sin opprinnelige posisjon.

Setning. Under en stiv kropps translasjonelle bevegelse beskriver alle dens punkter de samme banene og har til enhver tid samme hastighet og akselerasjon i størrelse og retning.

Bevis. La oss trekke gjennom to punkter og , et kroppssegment som beveger seg translasjonelt
og vurder bevegelsen til dette segmentet i posisjon
... I dette tilfellet poenget beskriver banen
og pek - bane
(fig. 56).

Tatt i betraktning at segmentet
beveger seg parallelt med seg selv, og lengden endres ikke, kan det fastslås at banene til punktene og vil være det samme. Derfor er den første delen av teoremet bevist. Vi vil bestemme poengens posisjon og vektormetode med hensyn til den faste opprinnelsen ... Dessuten er disse radiusvektorene avhengige
... Fordi. verken lengden eller retningen på linjen
endres ikke når kroppen beveger seg, så vektoren

... Vi vender oss til bestemmelsen av hastighetene i henhold til avhengigheten (24):

, vi får
.

Vi vender oss til definisjonen av akselerasjoner fra avhengighet (26):

, vi får
.

Det følger av den bevist teoremet at kroppens translasjonsbevegelse vil bli fullstendig definert hvis bevegelsen til bare ett punkt er kjent. Derfor er studiet av translasjonsbevegelsen til et stivt legeme redusert til studiet av bevegelsen til et av dets punkter, dvs. til kinematikkproblemet til et punkt.

Emne 11. Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme

Rotasjon kalles en slik bevegelse av et stivt legeme der to av dens punkter forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden. Videre kalles den rette linjen som går gjennom disse to faste punktene rotasjonsakse.

Hvert punkt i kroppen som ikke ligger på rotasjonsaksen, beskriver en sirkel under denne bevegelsen, hvis plan er vinkelrett på rotasjonsaksen, og sentrum ligger på denne aksen.

Tegn gjennom rotasjonsaksen et fast plan I og et bevegelig plan II, som alltid er koblet til kroppen og roterer med det (fig. 57). Plasseringen av plan II, og følgelig av hele kroppen, i forhold til planet I i rommet, er ganske bestemt av vinkelen ... Når kroppen roterer rundt aksen denne vinkelen er en kontinuerlig og entydig funksjon av tiden. Derfor, når vi kjenner loven til endringen i denne vinkelen over tid, vil vi kunne bestemme kroppens posisjon i rommet:

- loven om en kropps rotasjonsbevegelse. (43)

I dette tilfellet vil vi anta at vinkelen målt fra et fast plan i motsatt retning med urviseren, sett fra den positive enden av aksen ... Siden posisjonen til et legeme som roterer rundt en fast akse bestemmes av en parameter, sies det at et slikt legeme har en grad av frihet.

Vinkelhastighet

Endringen i kroppens rotasjonsvinkel over tid kalles vinkelen kroppshastighet og betegnet
(omega):

.(44)

Vinkelhastigheten, akkurat som den lineære hastigheten, er en vektormengde, og denne vektoren plott på kroppens rotasjonsakse. Det er rettet langs rotasjonsaksen i den retningen, slik at man ser fra slutten i begynnelsen, kan se kroppens rotasjon mot klokken (fig. 58). Modulen til denne vektoren bestemmes av avhengighet (44). Påføringspunkt på aksen kan velges vilkårlig, siden vektoren kan overføres langs handlingslinjen. Hvis vi betegner ortvektoren til rotasjonsaksen gjennom , så får vi et vektoruttrykk for vinkelhastigheten:

. (45)

Vinkelakselerasjon

Endringshastigheten i kroppens vinkelhastighet over tid kalles vinkelakselerasjon kropp og betegnet (epsilon):

. (46)

Vinkelakselerasjonen er en vektormengde, og denne vektoren plott på kroppens rotasjonsakse. Den er rettet langs rotasjonsaksen i den retningen slik at du ser fra slutten i begynnelsen og ser rotasjonsretningen til epsilon mot klokken (fig. 58). Modulen til denne vektoren bestemmes av avhengighet (46). Påføringspunkt på aksen kan velges vilkårlig, siden vektoren kan overføres langs handlingslinjen.

Hvis vi betegner ortvektoren til rotasjonsaksen gjennom , så får vi et vektoruttrykk for vinkelakselerasjonen:

. (47)

Hvis vinkelhastigheten og akselerasjonen er av samme tegn, så roterer kroppen akselerert, og hvis det er annerledes - sakte... Et eksempel på langsom rotasjon er vist i fig. 58.

Vurder spesielle tilfeller av rotasjonsbevegelse.

1. Jevn rotasjon:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Likeverdig rotasjon:

.

,
,
,
,
,
,
,
,


,
,
.(49)

Forholdet mellom lineære og vinkelparametere

Tenk på bevegelsen til et vilkårlig punkt
roterende kropp. I dette tilfellet vil punktets bane være en sirkel, med en radius
plassert i planet vinkelrett på rotasjonsaksen (fig. 59, og).

La oss anta det i øyeblikket punkt er på posisjon
... Anta at kroppen roterer i positiv retning, dvs. i retning av økende vinkel ... På et øyeblikk
punktet vil ta stilling
... La oss betegne en bue
... Derfor over en periode
poeng gikk veien
... Gjennomsnittsfarten hennes , og kl
,
... Men fra fig. 59, b, det er klart det
... Deretter. Endelig får vi

. (50)

Her - linjehastighet på et punkt
... Som oppnådd tidligere blir denne hastigheten rettet tangentielt til banen ved et gitt punkt, dvs. tangent til sirkelen.

Dermed er modulen til den lineære (omkrets) hastigheten til et punkt i et roterende legeme lik produktet av den absolutte verdien av vinkelhastigheten med avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

La oss nå koble de lineære komponentene til punktakselerasjonen til vinkelparametrene.

,
. (51)

Modulen for den tangensielle akselerasjonen til et punkt i et stivt legeme som roterer rundt en fast akse er lik produktet av kroppens vinkelakselerasjon med avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

,
. (52)

Modulen for normal akselerasjon av et punkt i et stivt legeme som roterer rundt en fast akse er lik produktet av kvadratet av kroppens vinkelhastighet med avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

Så tar uttrykket for full akselerasjon av punktet form

. (53)

Retningsvektorer ,,er vist i figur 59, i.

Flat bevegelse et stivt legeme kalles en bevegelse der alle kroppspunkter beveger seg parallelt med noe fast plan. Eksempler på denne bevegelsen:

Bevegelsen til ethvert legeme, hvis base glir på et gitt fast plan;

Rulling av et hjul langs et rett spor (skinne).

Vi får ligningene av plan bevegelse. For å gjøre dette bør du vurdere en flat figur som beveger seg i arkets plan (fig. 60). Vi henviser denne bevegelsen til et fast koordinatsystem
, og med selve figuren forbinder vi det bevegelige koordinatsystemet
som beveger seg med henne.

Åpenbart bestemmes posisjonen til en bevegelig figur på et fast plan av posisjonen til de bevegelige aksene
med hensyn til faste akser
... Denne posisjonen bestemmes av posisjonen til den bevegelige opprinnelsen , dvs. koordinater ,og rotasjonsvinkelen , et koordinatsystem i bevegelse, relativt til et fast, som vil bli målt fra aksen i motsatt retning av urviseren.

Følgelig vil bevegelsen til en flat figur i planet være ganske klar hvis verdiene av ,,, dvs. ligninger av skjemaet:

,
,
. (54)

Ligninger (54) er ligninger av plan bevegelse til en stiv kropp, siden hvis disse funksjonene er kjent, er det for hvert øyeblikk mulig å finne fra disse ligningene, henholdsvis ,,, dvs. bestemme posisjonen til den bevegelige figuren på et gitt tidspunkt.

La oss vurdere spesielle tilfeller:

1.

, så vil kroppens bevegelse være translasjonell, siden de bevegelige aksene beveger seg og forblir parallelle med sin opprinnelige posisjon.

2.

,

... Med denne bevegelsen endres bare rotasjonsvinkelen. , dvs. kroppen vil rotere rundt en akse som går vinkelrett på tegningsplanet gjennom et punkt .

Nedbrytning av bevegelsen til en flat figur til translasjonell og rotasjon

Vurder to påfølgende stillinger og
, som kroppen okkuperer i øyeblikkene av tiden og
(fig. 61). Kroppen ute av stilling i posisjon
kan overføres som følger. Flytt kroppen først gradvis... I dette tilfellet segmentet
vil bevege seg parallelt med seg selv i posisjon
, og så sving kropp rundt et punkt (pol) på hjørnet
til poengkampen og .

Følgelig hvilken som helst planbevegelse kan representeres som summen av translasjonsbevegelse sammen med den valgte polen og rotasjonsbevegelsen, i forhold til denne polen.

La oss se på metodene som det er mulig å bestemme hastighetene til punktene i en kropp som utfører en plan bevegelse.

1. Polemetode. Denne metoden er basert på den oppnådde nedbrytningen av flybevegelsen til translasjonell og rotasjon. Hastigheten til et hvilket som helst punkt i en flat figur kan representeres i form av to komponenter: translasjonell, med en hastighet lik hastigheten til et vilkårlig valgt punkt -poler og rotasjon rundt denne polen.

Tenk på en flat kropp (fig. 62). Bevegelsesligningene er som følger:
,
,
.

Vi bestemmer ut fra disse ligningene punktets hastighet (som i koordinatmodus for oppdrag)

,
,
.

Dermed poengets hastighet - mengden er kjent. Vi tar dette punktet som en pol og bestemmer hastigheten til et vilkårlig punkt
kropp.

Hastighet
vil bestå av translasjonskomponenten , når du beveger deg sammen med poenget og rotasjon
, når du roterer punktet
relativt til punkt ... Punkthastighet flytt til punkt
parallelt med seg selv, siden hastighetene til alle punkter er like store både i størrelse og i retning under translasjonsbevegelse. Hastighet
vil bli bestemt av avhengighet (50)
, og denne vektoren er rettet vinkelrett på radien
i rotasjonsretningen
... Vector
vil bli rettet langs diagonalen av parallellogrammet bygget på vektorene og
, og modulen bestemmes av avhengigheten:

, .(55)

2. Setning om projeksjonene av hastighetene til to punkter i kroppen.

Projeksjonene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på en rett linje som forbinder disse punktene, er lik hverandre.

Tenk på to punkter i kroppen og (fig. 63). Tar poenget utover polen, definer retningen av avhengighet (55):
... Vi projiserer denne vektorlikheten på linjen
og vurderer det
vinkelrett
, vi får

3. Øyeblikkelig hastighetssenter.

Øyeblikkelig hastighetssenter (MCS) kalles et punkt, hvis hastighet til en gitt tid er lik null.

La oss vise at hvis kroppen ikke beveger seg translasjonelt, så eksisterer et slikt punkt i hvert øyeblikk og dessuten det eneste. La i øyeblikket poeng og kropper liggende i seksjon , har hastigheter og ikke parallelt med hverandre (fig. 64). Så poenget
liggende i skjæringspunktet mellom de perpendikularene til vektorene og , og det vil være MCC siden
.

Faktisk, hvis vi antar det
, deretter av Theorem (56), vektoren
må være vinkelrett samtidig
og
, som er umulig. Fra samme teorem er det klart at ingen andre punkter i seksjonen på dette tidspunktet kan den ikke ha en hastighet lik null.

Bruk av polmetoden
- pol, definer hastigheten til punktet (55): siden
,
. (57)

Et lignende resultat kan oppnås for ethvert annet punkt på kroppen. Følgelig er hastigheten til et hvilket som helst punkt i kroppen lik rotasjonshastigheten i forhold til MCS:

,
,
, dvs. hastighetene til kroppens punkter er proporsjonale med avstandene til MCS.

Fra de tre vurderte metodene for å bestemme hastighetene til punktene i en flat figur, kan det sees at MCS er å foretrekke, siden her bestemmes hastigheten umiddelbart både i størrelse og i retning av en komponent. Imidlertid kan denne metoden brukes hvis vi vet eller kan bestemme plasseringen av MCS for kroppen.

Bestemme posisjonen til MDC

1. Hvis vi for en gitt kroppsposisjon vet retningene av hastighetene til to punkter i kroppen, vil MCS være skjæringspunktet for de loddrette linjene til disse hastighetsvektorene.

2. Hastighetene til to punkter i kroppen er antiparallelle (fig. 65, og). I dette tilfellet vil vinkelrett på hastighetene være vanlig, dvs. MDC er plassert et sted på denne vinkelrett. For å bestemme posisjonen til MDC er det nødvendig å koble endene til hastighetsvektorene. Skjæringspunktet for denne linjen med vinkelrett vil være ønsket MDS. I dette tilfellet er MCC mellom disse to punktene.

3. Hastighetene til to punkter i kroppen er parallelle, men ikke like store (fig. 65, b). Fremgangsmåten for å skaffe MDC er lik den som er beskrevet i paragraf 2.

d) Hastighetene til de to punktene er like både i størrelse og i retning (figur 65, i). Vi får tilfelle øyeblikkelig translasjonsbevegelse, der hastighetene til alle kroppspunkter er like. Derfor er kroppens vinkelhastighet i en gitt posisjon null:

4. Definer MDC for et hjul som ruller uten å skyve på en stasjonær overflate (fig. 65, r). Siden bevegelsen skjer uten å gli, vil hastigheten være den samme og lik , siden overflaten er stasjonær, ved hjulets kontaktpunkt. Følgelig vil kontaktpunktet til hjulet med en fast overflate være MDC.

Bestemme akselerasjonen av punkter i en plan form

Når man bestemmer akselerasjonen av punkter i en flat figur, blir en analogi sporet med metodene for å bestemme hastigheter.

1. Polemetode. Akkurat som når vi bestemmer hastigheter, tar vi for polet et vilkårlig punkt i kroppen, hvis akselerasjon vi vet, eller vi kan bestemme det. Deretter akselerasjonen til et hvilket som helst punkt i en plan figur er lik summen av polakselerasjonene og akselerasjonen i rotasjonsbevegelse rundt denne polen:

I dette tilfellet, komponenten
definerer punktakselerasjon når den roterer rundt stangen ... Når du roterer, vil banen til punktet være buet, noe som betyr
(fig. 66).

Så tar avhengighet (58) form
. (59)

Med tanke på avhengigheter (51) og (52) får vi
,
.

2. Øyeblikkelig akselerasjonssenter.

Øyeblikkelig akselerasjonssenter (MCU) kalles et punkt, hvis akselerasjon til en gitt tid er lik null.

La oss vise at et slikt punkt eksisterer til enhver tid. Ta et poeng for stangen hvis akselerasjon
vi vet. Finn vinkelen ligger inne
og tilfredsstiller betingelsen
... Hvis en
deretter
og omvendt, dvs. vinkel utsatt mot ... Sett bort fra poenget i en vinkel til vektor
seksjon
(fig. 67). Poenget oppnådd ved slike konstruksjoner
vil være ICU.

Faktisk akselerasjonen av poenget
lik summen av akselerasjonene
poler og akselerasjon
i rotasjonsbevegelse rundt stangen :
.

,
... Deretter
... På den annen side akselerasjon
former med snittretningen
vinkel
som tilfredsstiller vilkåret
... Et minustegn er plassert foran tangenten til en vinkel siden rotasjon
i forhold til stangen mot klokken, og vinkelen
deponert med klokken. Deretter
.

Følgelig
og så
.

Spesielle tilfeller av definisjonen av MCU

1.
... Deretter
, og derfor eksisterer ikke MCU. I dette tilfellet beveger kroppen seg translasjonelt, dvs. hastighetene og akselerasjonene til alle punkter i kroppen er like.

2.
... Deretter
,
... Dette betyr at MCU ligger i skjæringspunktet mellom aksjonslinjene til kroppens akselerasjonspunkter (fig. 68, og).

3.
... Deretter,
,
... Dette betyr at MCC ligger i skjæringspunktet mellom de perpendikularene til akselerasjonene til kroppens punkter (fig. 68, b).

4.
... Deretter
,

... Dette betyr at MCC ligger i skjæringspunktet mellom strålene trukket mot akselerasjonene til kroppens punkter i en vinkel (fig. 68, i).

Fra de vurderte spesielle tilfellene kan vi konkludere med: hvis du godtar poenget
utenfor polen, blir akselerasjonen til et hvilket som helst punkt i planfiguren bestemt av akselerasjonen i rotasjonsbevegelse rundt MCC:

. (60)

Komplisert punktbevegelse kalles en bevegelse der et punkt deltar samtidig i to eller flere bevegelser. Med denne bevegelsen bestemmes punktets posisjon i forhold til de bevegelige og relativt stasjonære referanserammene.

Bevegelsen til et punkt i forhold til en bevegelig referanseramme kalles relativ punktbevegelse ... La oss bli enige om å angi parametrene for den relative bevegelsen
.

Bevegelsen til det punktet i den bevegelige referanserammen, som bevegelsespunktet i det gitte øyeblikket sammenfaller med i forhold til den faste referanserammen, kalles figurativ poengbevegelse ... Vi blir enige om å angi parametrene for den bærbare bevegelsen
.

Bevegelsen til et punkt i forhold til en fast referanseramme kalles absolutt (kompleks) punktbevegelse ... Vi blir enige om å angi parametrene for absolutt bevegelse
.

Som et eksempel på en kompleks bevegelse, kan vi betrakte bevegelsen til en person i et kjøretøy i bevegelse (trikk). I dette tilfellet er bevegelsen til en person relatert til et koordinatsystem i bevegelse - en trikk og et stasjonært koordinatsystem - jorden (veien). Deretter, basert på definisjonene ovenfor, er bevegelsen til en person i forhold til trikken relativ, bevegelsen med trikken i forhold til bakken er bærbar, og bevegelsen til en person i forhold til bakken er absolutt.

Vi vil bestemme punktets posisjon
radier - vektorer relativt bevegelige
og urørlig
koordinatsystemer (fig. 69). La oss introdusere notasjonen: - radiusvektor som definerer posisjonen til punktet
med hensyn til det bevegelige koordinatsystemet
,
;er radiusvektoren som definerer posisjonen til opprinnelsen til det bevegelige koordinatsystemet (punkter ) (poeng );- radius - en vektor som definerer punktets posisjon
med hensyn til et fast koordinatsystem
;
,.

Vi vil oppnå forhold (begrensninger) som tilsvarer de relative, figurative og absolutte bevegelsene.

1. Når vi vurderer den relative bevegelsen, vil vi anta at poenget
beveger seg i forhold til det bevegelige koordinatsystemet
, og selve det bevegelige koordinatsystemet
med hensyn til et fast koordinatsystem
beveger seg ikke.

Deretter koordinatene til punktet
vil endre seg i relativ bevegelse, og ort-vektorene til det bevegelige koordinatsystemet vil ikke endre seg i retning:


,

,

.

2. Når vi vurderer den bærbare bevegelsen, vil vi anta at koordinatene til punktet
er faste i forhold til det bevegelige koordinatsystemet, og punktet beveger seg med det bevegelige koordinatsystemet
relativt urørlig
:


,

,

,.

3. Med absolutt bevegelse beveger punktet seg og relativ
og sammen med koordinatsystemet
relativt urørlig
:

Da har uttrykkene for hastighetene, tatt i betraktning (27), formen

,
,

Når vi sammenligner disse avhengighetene, får vi et uttrykk for den absolutte hastigheten:
. (61)

Vi fikk en setning om tilførselen av hastighetene til et punkt i en kompleks bevegelse: den absolutte hastigheten til et punkt er lik den geometriske summen av hastighetenes relative og transportkomponenter.

Ved hjelp av avhengighet (31) får vi uttrykk for akselerasjonene:

,

Når vi sammenligner disse avhengighetene, får vi et uttrykk for den absolutte akselerasjonen:
.

Vi forsto at den absolutte akselerasjonen til et punkt ikke er lik den geometriske summen av de relative og translasjonelle komponentene til akselerasjonene. La oss definere komponenten til den absolutte akselerasjonen i parentes for spesielle tilfeller.

1. Translasjonsbevegelse av et punkt translasjonelt
... I dette tilfellet aksene til det bevegelige koordinatsystemet
flytte hele tiden parallelt med seg selv, da.

,

,

,
,
,
deretter
... Endelig får vi

. (62)

Hvis translasjonsbevegelsen til et punkt er translasjonell, er den absolutte akselerasjonen av punktet lik den geometriske summen av de relative og translasjonelle komponentene i akselerasjonen.

2. Den overførbare bevegelsen til et punkt er ikke-translasjonell. Derfor, i dette tilfellet, det bevegelige koordinatsystemet
roterer rundt den øyeblikkelige rotasjonsaksen med vinkelhastighet (fig. 70). Vi betegner et punkt på slutten av vektoren på tvers ... Deretter, ved hjelp av vektormetoden for innstilling (15), får vi hastighetsvektoren til dette punktet
.

På den andre siden,
... Ved å sidestille høyre side av disse vektorlikhetene får vi:
... Fortsetter på en lignende måte for de resterende vektorvektorene, får vi:
,
.

Generelt sett er den absolutte akselerasjonen til et punkt lik den geometriske summen av de relative og translasjonelle komponentene av akselerasjonen pluss det doblede vektorproduktet til vektoren for vinkelhastigheten til translasjonsbevegelsen av vektoren av den lineære hastigheten av den relative bevegelsen.

Det doblede vektorproduktet til vektoren for vinkelhastigheten til den bærbare bevegelsen av vektoren for den lineære hastigheten til den relative bevegelsen kalles Coriolis akselerasjon og betegnet

. (64)

Coriolis-akselerasjon karakteriserer endringen i den relative hastigheten i overføringsbevegelsen og endringen i overføringshastigheten i den relative bevegelsen.

På vei mot
i henhold til vektorproduktregelen. Coriolis akselerasjonsvektoren er alltid rettet vinkelrett på planet som vektorene danner og , på en slik måte at, sett fra slutten av vektoren
, se svingen til , gjennom den minste vinkelen, mot klokken.

Coriolis akselerasjonsmodul er.

Styringsvinkel, vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

Rotasjon av et stivt legeme rundt en fast aksedens bevegelse kalles, der to punkter i kroppen forblir ubevegelig under hele bevegelsestiden. I dette tilfellet forblir alle kroppspunkter på en rett linje som går gjennom de faste punktene også urørlige. Denne linjen heter kroppens rotasjonsakse.

Hvis en OGog I- faste punkter på kroppen (fig. 15 ), da er rotasjonsaksen aksen Oz,som kan ha hvilken som helst retning i rommet, ikke nødvendigvis vertikalt. En akseretning Oztatt for positivt.

Tegn et fast plan gjennom rotasjonsaksen Av og mobil P,festet til et roterende legeme. La begge flyene falle sammen i det første øyeblikket. Så i øyeblikket t posisjonen til det bevegelige planet og det roterende legemet i seg selv kan bestemmes av den tovinklede vinkelen mellom planene og den tilsvarende lineære vinkelen φ mellom rette linjer plassert i disse planene og vinkelrett på rotasjonsaksen. Vinkel φ kalt kroppens rotasjonsvinkel.

Kroppens posisjon i forhold til den valgte referanserammen bestemmes fullstendig i enhver

øyeblikk i tid, hvis ligningen er gitt φ = f (t) (5)

hvor f (t)- hvilken som helst, to ganger differensierbar funksjon av tiden. Denne ligningen kalles rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse.

Et legeme som roterer rundt en fast akse har en grad av frihet, siden posisjonen bestemmes ved å spesifisere bare en parameter - vinkelen φ .

Vinkel φ betraktes som positiv hvis den er lagt ut mot klokken, og negativ - i motsatt retning, sett fra aksens positive retning Oz.Banene til kroppens punkter når den roterer rundt en fast akse er sirkler plassert i plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

For å karakterisere rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse, introduserer vi begrepene vinkelhastighet og vinkelakselerasjon. Algebraisk vinkelhastighet til en kroppnår som helst i tid, kalles den første gangs avledede av rotasjonsvinkelen i dette øyeblikket, dvs. dφ / dt \u003d φ. Det er en positiv verdi når kroppen roterer mot urviseren, siden rotasjonsvinkelen øker med tiden, og negativ når kroppen roterer med urviseren, fordi rotasjonsvinkelen avtar.

Vinkelhastighetsmodulen er ω. Deretter ω= ׀dφ / dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensjonen på vinkelhastigheten er satt i samsvar med (6)

[ω] \u003d vinkel / tid \u003d rad / s \u003d s -1.

I ingeniørfag er vinkelhastighet hastigheten uttrykt i omdreininger per minutt. Om 1 minutt vil kroppen snu i en vinkel 2πп,hvis en p- antall omdreininger per minutt. Ved å dele denne vinkelen med antall sekunder på et minutt får vi: (7)

Algebraisk vinkelakselerasjon av et legemeførste gang avledet av algebraisk hastighet kalles, dvs. andre avledede av rotasjonsvinkelen d 2 φ / dt 2 \u003d ω... Vinkelakselerasjonsmodulen er angitt ε deretter ε=|φ| (8)

Dimensjonen til vinkelakselerasjonen er hentet fra (8):

[ε ] \u003d vinkelhastighet / tid \u003d rad / s 2 \u003d s -2

Hvis en φ’’>0 på φ’>0 , da øker den algebraiske vinkelhastigheten med tiden, og derfor roterer kroppen med en akselerert hastighet for øyeblikket i positiv retning (mot klokken). Når φ’’<0 og φ’<0 kroppen roterer raskt i negativ retning. Hvis en φ’’<0 på φ’>0 , så har vi en langsommere rotasjon i positiv retning. Når φ’’>0 og φ’<0 , dvs. langsommere rotasjon er i negativ retning. Vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen i figurene er avbildet av buepiler rundt rotasjonsaksen. Buepilen for vinkelhastigheten indikerer kroppens rotasjonsretning;

For akselerert rotasjon har buepiler for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon samme retninger for retardert rotasjon - deres retninger er motsatte.

Spesielle tilfeller av rotasjon av et stivt legeme

Rotasjon kalles uniform hvis ω \u003d const, φ \u003d φ't

Rotasjonen vil være jevnt variabel hvis ε \u003d konst. φ '\u003d φ' 0 + φ''t og

Generelt, hvis φ’’ ikke alltid,

Hastigheter og akselerasjoner av kroppspunkter

Rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse er kjent φ \u003d f (t)(fig. 16). Avstand spoeng Mi det bevegelige planet Plangs en sirkelbue (bane til et punkt), målt fra et punkt M o,plassert i et fast plan, uttrykt gjennom vinkelen φ avhengighet s \u003d hφhvor her radiusen til sirkelen som punktet beveger seg langs. Det er den korteste avstanden fra punktet Mtil rotasjonsaksen. Det kalles noen ganger radiusen til punktrotasjonen. Ved hvert punkt i kroppen forblir rotasjonsradien uendret når kroppen roterer rundt en fast akse.

Algebraisk punkthastighet Mbestemt av formelen v τ \u003d s ’\u003d hφPunkthastighetsmodul: v \u003d hω(9)

Hastighetene til kroppens punkter når de roterer rundt en fast akse er proporsjonale med deres korteste avstand til denne aksen.Sideforholdet er vinkelhastigheten. Hastighetene til punktene er rettet langs tangenten til banene og er derfor vinkelrett på rotasjonsradiene. Hastigheter på kroppspunkter plassert på et rett linjesegment OM,i henhold til (9) er distribuert i henhold til en lineær lov. De er innbyrdes parallelle, og endene er plassert på en rett linje som går gjennom rotasjonsaksen. Vi nedbryter akselerasjonen til et punkt i tangente og normale komponenter, dvs. a \u003d a τ + a nτ De tangentielle og normale akselerasjonene blir beregnet av formlene (10)

siden for en sirkel krumningsradien p \u003d h (fig. 17 ). Dermed,

Tangente, normale og totale akselerasjoner av punkter, så vel som hastigheter, fordeles også i henhold til en lineær lov. De avhenger lineært av punktenes avstand til rotasjonsaksen. Normal akselerasjon er rettet langs sirkelens radius til rotasjonsaksen. Retningen til den tangentielle akselerasjonen avhenger av tegnet på den algebraiske vinkelakselerasjonen. Når φ’>0 og φ’’>0 eller φ’<0 og φ’<0 vi har en akselerert rotasjon av kroppen og retningene til vektorene a τog vkamp. Hvis en φ’ og φ’" har forskjellige tegn (langsom rotasjon), da a τog vrettet motsatt til hverandre.

Ved å utpeke α vinkelen mellom den totale akselerasjonen til et punkt og dens rotasjonsradius, har vi

tgα \u003d | a τ | / a n \u003d ε / ω 2 (11)

siden normal akselerasjon a nalltid positiv. Vinkel ogfor alle punkter i kroppen er den samme. Det bør utsettes fra akselerasjon til rotasjonsradius i retning av buepilen for vinkelakselerasjon, uavhengig av rotasjonsretningen til det stive legemet.

Vektorer av vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

La oss introdusere begrepene vektorer med vinkelhastighet og vinkelakselerasjon av en kropp. Hvis en TILer enhetsvektoren til rotasjonsaksen rettet mot den positive siden, deretter vinkelhastighetsvektorene ώ og vinkelakselerasjon ε bestemmes av uttrykk (12)

Fordi ker en vektorkonstant i størrelse og retning, så følger det av (12) at

ε \u003d dώ / dt(13)

Når φ’>0 og φ’’>0 retningsvektorer ώ og ε kamp. De er begge rettet mot den positive siden av rotasjonsaksen. Oz(Fig. 18.a) Hvis φ’>0 og φ’’<0 , så blir de rettet i motsatt retning (fig. 18.b ). Vektoren av vinkelakselerasjon sammenfaller i retning med vektoren for vinkelhastighet under akselerert rotasjon og motsatt av den under retardert rotasjon. Vektorer ώ og ε kan tegnes når som helst på rotasjonsaksen. De er skyvevektorer. Denne egenskapen følger av vektorformlene for hastighetene og akselerasjonene til kroppens punkter.

Komplekse punktbevegelser

Enkle konsepter

For å studere noen av de mer komplekse typene stive kroppsbevegelser, anbefales det å vurdere den enkleste komplekse bevegelsen til et punkt. I mange problemer må bevegelsen til et punkt vurderes i forhold til to (eller flere) referanserammer som beveger seg i forhold til hverandre. Dermed må bevegelsen til et romfartøy som beveger seg mot månen, betraktes samtidig både i forhold til jorden og i forhold til månen, som beveger seg i forhold til jorden. Enhver bevegelse av et punkt kan betraktes som kompleks, bestående av flere bevegelser. For eksempel kan bevegelse av et skip langs en elv i forhold til jorden betraktes som kompleks, bestående av bevegelse langs vannet og sammen med det rennende vannet.

I det enkleste tilfellet består den komplekse bevegelsen til et punkt av relative og figurative bevegelser. La oss definere disse bevegelsene. La oss ha to referanserammer som beveger seg i forhold til hverandre. Hvis ett av disse systemene O l x 1 y 1 z 1(fig. 19 ) tatt for grunnleggende eller stasjonær (dens bevegelse i forhold til andre referanserammer blir ikke vurdert), deretter den andre referanserammen Oxyzvil bevege seg relativt til den første. Bevegelse av et punkt i forhold til en bevegelig referanseramme Oxyzkalt slektning.Egenskapene til denne bevegelsen, som bane, hastighet og akselerasjon, kalles slektning.De er betegnet med indeksen r; for fart og akselerasjon v r, a r. Bevegelsen til et punkt i forhold til hoved- eller stasjonær referansesystem O 1 x 1 y 1 z 1kalt absolutt(eller kompleks ). Det kalles også noen ganger sammensattebevegelse. Banen, hastigheten og akselerasjonen til denne bevegelsen kalles absolutt. Hastigheten og akselerasjonen av absolutt bevegelse er angitt med bokstaver v, aingen indekser.


Den overførbare bevegelsen til et punkt kalles den bevegelsen den lager sammen med en bevegelig referanseramme, som et punkt som er stivt festet til dette systemet i øyeblikket. På grunn av den relative bevegelsen sammenfaller bevegelsespunktet til forskjellige tider med forskjellige punkter i kroppen S,som den bevegelige referanserammen er festet med. Den bærbare hastigheten og den bærbare akselerasjonen er hastigheten og akselerasjonen til det punktet i kroppen. S,som flyttepunktet for tiden sammenfaller med. Bærbar hastighet og akselerasjon betyr v e, og e.

Hvis banene til alle punkter i kroppen S,festet til den bevegelige referanserammen, avbildet i figuren (fig. 20), så får vi en familie av linjer - en familie av baner av et punktes translasjonsbevegelse M.På grunn av den relative bevegelsen av punktet Mi hvert øyeblikk er den på en av banene til den bærbare bevegelsen. Punktum Mkan falle sammen med bare ett punkt i hvert av banene i denne familien av overføringsbaner. I denne forbindelse antas det noen ganger at det ikke er noen baner for den overførbare bevegelsen, siden det er nødvendig å vurdere banene for den overførbare bevegelsen av linjene, der bare ett punkt faktisk er et punkt i banen.

I kinematikken til et punkt ble bevegelsen til et punkt i forhold til en hvilken som helst referanseramme studert, uavhengig av om denne referanserammen beveger seg i forhold til andre rammer eller ikke. La oss supplere denne studien ved å vurdere en kompleks bevegelse, i det enkleste tilfellet, bestående av relativ og figurativ. En og samme absolutt bevegelse, som velger forskjellige bevegelige referanserammer, kan anses å bestå av forskjellige figurative og følgelig relative bevegelser.

Hastighetstilsetning

La oss bestemme hastigheten til den absolutte bevegelsen til et punkt hvis hastighetene til de relative og figurative bevegelsene til dette punktet er kjent. La punktet bare utføre en relativ bevegelse i forhold til den bevegelige referanserammen Oxyz og når tiden t opptar posisjon M på banen for relativ bevegelse (fig. 20). I øyeblikket t + t, på grunn av den relative bevegelsen, vil punktet være i posisjon М 1, etter å ha gjort bevegelsen til ММ 1 langs banen til den relative bevegelsen. Anta at poeng er involvert Oxyzog relativ bane vil den bevege seg langs en viss kurve videre MM 2.Hvis et punkt deltar samtidig i både relative og overførbare bevegelser, så i tid A; hun vil flytte til MM "langs banen til absolutt bevegelse og i øyeblikket t + klta stilling M ".Hvis tiden Påer liten og deretter passere til det ytterste kl På,tendens til , så små forskyvninger langs kurver kan erstattes av segmenter av akkorder og tas som vektorer for forskyvninger. Å legge til vektordrivninger får vi

I denne forbindelse blir små mengder av høyere orden kastet, som har en tendens til null ved På,tendens til null. Vi har gått over til det ytterste (14)

Derfor tar (14) skjemaet (15)

Den såkalte hastighetsaddisjonssatsen oppnås: hastigheten til den absolutte bevegelsen til et punkt er lik vektorsummen av hastighetene til de figurative og relative bevegelsene til dette punktet.Siden, generelt sett, ikke hastighetene til de bærbare og relative bevegelsene ikke er vinkelrette, da (15 ')


Lignende informasjon.


Lignende publikasjoner