Definisjon av generaliserte krefter. Det er forskjellige måter å beregne generaliserte krefter på. Selvtest spørsmål

GENERELLE KRAFTER

GENERELLE KRAFT

Mengder som spiller rollen som vanlige krefter, når de i studiet av likevekt eller bevegelse er mekaniske. systemet bestemmes dets posisjon av generelle koordinater. O.s nummer med. er lik antall s frihetsgrader i systemet; i dette tilfellet tilsvarer hver generaliserte koordinat-qi sitt eget koordinatsystem. Qi. O.s verdi med. Q1 som tilsvarer koordinaten q1 kan bli funnet ved å beregne element. arbeid dA1 av alle krefter på en mulig forskyvning av systemet, som bare koordinaten q1 endres for å få en økning dq1. Deretter dA1 \u003d Q1dq1т. Det vil si at koeffisienten ved dqi i uttrykket dA1 vil være O. s. Q1. Q2, Q3, beregnes på samme måte. ... ., Qs.

Dimensjon av O. s. avhenger av dimensjonen til den generelle koordinaten. Hvis qi har lengder, så er Qi dimensjonen til vanlig kraft; hvis qi er en vinkel, så har Qi dimensjonen av kraftmomentet, og så videre. Når man studerer mekanisk bevegelse. systemer av O. s, i stedet for de vanlige kreftene, kommer inn i Lagrange-ligningene til mekanikken, og i likevekt alle O.ene. er lik null.

Fysisk leksikonordbok. - M.: Sovjetisk leksikon. Sjefredaktør A.M. Prokhorov. 1983 .

Se hva "GENERELLE KRAFTER" er i andre ordbøker:

Mengder som spiller rollen som vanlige krefter når, når man studerer likevekt eller bevegelse til et mekanisk system, blir posisjonen bestemt av generaliserte koordinater (se Generelle koordinater). O.s nummer med. lik antall s frihetsgrader i systemet; kl ... ...

I mekanikk er mengdene Qi, produktet av k rykh av de grunnleggende løsningene dqi av generaliserte koordinater qi, mekaniske. systemer gir et uttrykk for det grunnleggende arbeidet til en bA der det er dannet av en haug av fiberholdige materialer (bomull, viskose). For et klistremerke O. vanligvis ... ... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

- (USA) (Amerikas forente stater, USA). I. Generell informasjon USA er en stat i Nord-Amerika. Området er på 9,4 millioner km2. Befolkning 216 millioner. (1976, estimat). Hovedstaden Washington. Administrativt, USAs territorium ... Stor sovjetisk leksikon

- (USSR Air Force) Flagg til det sovjetiske luftforsvaret År av eksistens ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة al Emirat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Kreftfeltet spesifisert i regionen Q i konfigurasjonsrommet som gradienten til skalarfunksjonen: der (generaliserte) koordinater, U (q) er den potensielle energien. P.s arbeid med. langs en lukket kontur i Q som er kontrahert til et punkt, er lik null. Et tegn på ... ... Fysisk leksikon

- (Air Force) er en type statlige væpnede styrker designet for uavhengige aksjoner for å løse operasjonelle strategiske oppgaver og for felles aksjoner med andre typer væpnede styrker. Når det gjelder kampevner, er det moderne luftforsvaret ... ... Stor sovjetisk leksikon

Krefter, et mål på virkningen av en kraft, avhengig av kraftens numeriske verdi og retning og av bevegelsen til applikasjonspunktet. Hvis kraften F er numerisk og retningsbestemt, og forskyvningen M0M1 er rettlinjet (fig. 1), så er P. A \u003d F․s․cosα, hvor s \u003d M0M1 ... Stor sovjetisk leksikon

Krefter, et mål på virkningen av en kraft, avhengig av kraftens numeriske verdi og retning og av bevegelsen til applikasjonspunktet. Hvis kraften F er numerisk og retningsbestemt, og forskyvningen М0М1 er rettlinjet (fig. 1), så er P. A \u003d F s cosa, hvor s \u003d M0M1, og vinkelen ... ... Fysisk leksikon

Mekanikk. 1) Lagrange-ligninger av første type, differensielle ligninger, mekaniske. systemer som er gitt i projeksjoner på rektangulære koordinatakser og inneholder den såkalte. Lagrange-multiplikatorer. Mottatt av J. Lagrange i 1788. For et holonomisk system, ... ... Fysisk leksikon

Fig. 71

Fig. 70

Fig.69

Posisjonen til veivmekanismen (fig. 70) kan bestemmes ved å stille veivinkelen eller avstanden sbestemme posisjonen til lysbildet I (på).

Posisjonen til den sfæriske pendelen (fig. 71) bestemmes ved å spesifisere to parametere, vinkler og.

Minimumsantallet uavhengige generaliserte koordinater, som er tilstrekkelig til helt og utvetydig å bestemme plasseringen til alle punkter i systemet, kalles antall frihetsgraderdette systemet.

Generelt, for ethvert materiellsystem, kan flere generelle koordinater tildeles. For veivmekanismen (fig. 70) er for eksempel to generaliserte koordinater og indikert. Men dette betyr ikke at mekanismen har to grader av frihet, siden en koordinat kan bestemmes gjennom den andre:

Men pendelen (fig. 71) har to frihetsgrader, fordi posisjonen bestemmes av to uavhengige generaliserte koordinater. Forresten, hvis lengden på pendelen endres, så for å bestemme punktets posisjon Mdet kreves en parameter til - generalisert koordinat l, trådlengde. Og pendelen vil ha tre frihetsgrader.

Generelle koordinater i det generelle tilfellet vil bli angitt med brevet q.

La materialsystemet ha s grader av frihet. Dens posisjon bestemmes av generelle koordinater: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k,…, q s. .

Det er lett å verifisere at de kartesiske koordinatene n punkter i systemet kan defineres som funksjoner av generelle koordinater og tid:

Så pendelen (fig. 71) har koordinatene til punktet M

det er koordinatfunksjoner l, og, og tid t, hvis en l \u003d l (t).

Følgelig kan radiusvektoren til systemets punkter defineres som en funksjon av generaliserte koordinater og tid:

For hver generaliserte koordinat kan den tilsvarende generaliserte kraften beregnes Q k.

Beregningen utføres i henhold til denne regelen.

For å bestemme den generaliserte kraften Q ktilsvarende den generelle koordinaten q k, er det nødvendig å gi denne koordinaten en økning (øke koordinaten med denne verdien), og la alle andre koordinater være uendret, beregne summen av arbeidet til alle kreftene som påføres systemet på de tilsvarende forskyvningene av punkter og dele den med inkrementet av koordinaten:

hvor er forskyvning Jeg-te punkt i systemet, oppnådd ved å endre k–Den generaliserte koordinaten.

Den generaliserte kraften bestemmes ved hjelp av elementært arbeid. Derfor kan denne kraften beregnes annerledes:

Og siden det er en økning av radiusvektoren på grunn av økningen av koordinaten med resten av koordinatene og uendret tid t, kan forholdet defineres som et delvis derivat. Deretter

der koordinatene til punktene er funksjoner til de generelle koordinatene (5).

Hvis systemet er konservativt, det vil si at bevegelsen skjer under virkningen av kreftene i potensialfeltet, hvor projeksjonene der, hvor og koordinatene til punktene er funksjoner av generelle koordinater, så

Den generaliserte kraften til et konservativt system er en delvis derivat av den potensielle energien langs den tilsvarende generaliserte koordinaten med et minustegn.

Selvfølgelig, når man beregner denne generaliserte kraften, bør den potensielle energien bestemmes som en funksjon av de generelle koordinatene

P \u003d P ( q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s).

Merknader.

Først. Ved beregning av de generaliserte kreftene blir ikke reaksjonene av ideelle begrensninger tatt i betraktning.

Sekund. Dimensjonen til den generaliserte kraften avhenger av dimensjonen til den generaliserte koordinaten. Så hvis dimensjonen [ q] - meter, deretter dimensjon

Nm / m \u003d Newton hvis [ q] - radian, da \u003d Nm; hvis en [ q] \u003d m 2, så etc.

Eksempel 23. En ring glir langs en stang som svinger i vertikalt plan M vekt R (fig. 72). Vi anser stangen som vektløs. La oss definere de generaliserte kreftene.

I analytisk mekanikk, sammen med begrepet kraft som en vektormengde som karakteriserer effekten på en gitt kropp fra andre materielle legemer, er begrepet generalisert makt... For å bestemme generalisert styrke vurdere det virtuelle arbeidet med krefter som påføres punktene i systemet.

Hvis det pålegges et mekanisk system med holonomiske begrensninger h forbindelser har s \u003d 3n-hgrader av frihet , deretter bestemmes posisjonen til dette systemet ( i \u003d s)

generaliserte koordinater og (2.11) : I henhold til (2.13), (2.14) den virtuelle forskyvningen k -poeng

(2.13)

(2.14)

Substituting (2.14): i formelen for det virtuelle styrkenes arbeid

(2.24), får vi

Skalarantall = (2.26)

er kalt generalisert makttilsvarende jeg-th generalisert koordinat.

Generalisert makttilsvarende i-den generaliserte koordinaten, kalles en verdi lik multiplikatoren for variasjon av denne generaliserte koordinaten i uttrykket for det virtuelle kreftarbeidet som virker på et mekanisk system.

Virtuelt arbeid bestemt fra

¾ sette aktive krefter, uavhengig av restriksjoner og

¾ reaksjoner av forbindelser (hvis tilkoblingene ikke er ideelle, er det nødvendig å stille den fysiske avhengigheten for å løse problemet i tillegg T j fra N j, ( T j er som regel friksjonskrefter eller øyeblikk av motstand mot rullende friksjon, som vi vet hvordan vi skal bestemme).

Generelt generalisert styrkeer en funksjon av generaliserte koordinater, hastigheter til systempunkter og tid. Det følger av definisjonen at generalisert styrke ¾ skalarverdi som avhenger av de generelle koordinatene som er valgt for det gitte mekaniske systemet. Dette betyr at når settet med generelle koordinater som bestemmer posisjonen til det gitte systemet endres, og generaliserte krefter.

Eksempel 2.10. For en disk med en radius rog masse m, som ruller uten å skyve på et skrått plan (Figur 2.9), for en generalisert koordinat kan tas:

¾ enten q \u003d s¾ forskyvning av massesenteret til disken,

Noen q \u003d j er diskens rotasjonsvinkel. Hvis vi forsømmer rullemotstanden, så:

The i det første tilfellet generalisert maktvil være

Fig. 2.9 Q s \u003d mg sina, og

¾ i det andre tilfellet ¾ Q j \u003d mg r cosa.

Den generaliserte koordinaten bestemmer også måleenheten til den tilsvarende generalisert styrke.Fra uttrykk (2,25)

(2.27)

det følger at måleenheten generalisert styrkeer lik måleenheten for arbeid delt på måleenheten til den generelle koordinaten.

Hvis som en generalisert koordinat q å akseptere q \u003d s¾ flytte et punkt, deretter måleenheten generalisert styrkeQ s ¾ vil [newton] ,

Hvis imidlertid som q \u003d j ¾ rotasjonsvinkelen (i radianer) til kroppen blir tatt, deretter måleenheten generalisert styrkeQ j ¾ vil være [ newton´ meter].

La oss skrive opp summen av det grunnleggende arbeidet til kreftene som virker på systemets punkter, på den mulige forskyvningen av systemet:

La det holonomiske systemet ha frihetsgrader og derfor bestemmes dens posisjon i rommet generelle koordinater
.

Bytte ut (225) til (226) og endre rekkefølgen på summeringen over indeksene og , vi får

. (226")

hvor skalar mengde

kalt generalisert styrke henvist til den generaliserte koordinaten ... Ved å bruke det velkjente uttrykket for prikkproduktet til to vektorer, kan den formidlede kraften også vises som

–Projeksjon av kraft på koordinataksen;
- koordinater for styrkepunktet.

Dimensjonen til den generaliserte kraften i samsvar med (226 ") som følger, avhenger av dimensjonen sammenfallende med dimensjonen :

, (228)

det vil si at dimensjonen til den generaliserte kraften er lik dimensjonen til arbeidet til kraften (energi) eller kraftmomentet, delt på dimensjonen til den generaliserte koordinaten som den generaliserte kraften er tildelt. Det følger av dette at den generaliserte kraften kan ha dimensjonen av kraft eller kraftmoment.

Beregning av generalisert kraft

1. Den generaliserte kraften kan beregnes med formelen (227), som bestemmer den, dvs.

2. De generaliserte kreftene kan beregnes som koeffisientene for de tilsvarende variasjonene av de generaliserte koordinatene i uttrykket for det grunnleggende arbeidet (226 "), dvs.

3. Den mest hensiktsmessige metoden for å beregne de generaliserte kreftene, som er oppnådd fra (226 "), hvis systemet får beskjed om en slik mulig forskyvning der bare en generalisert koordinat endres, mens de andre ikke endres. Så hvis
og resten
, så fra (179 ") har vi

.

Indeks indikerer at summen av elementære verk beregnes på en mulig forskyvning, der kun koordinaten endres (varierer) ... Hvis den variable koordinaten er deretter

. (227")

Likevektsbetingelser for et styrkesystem når det gjelder generaliserte krefter

System likevektsforhold er hentet fra prinsippet om mulige forskyvninger. De gjelder for systemer som dette prinsippet er sant for: for likevekt i et mekanisk system som er utsatt for holonomiske, stasjonære, ideelle og ikke-frigjørende begrensninger, i det øyeblikket hvor hastighetene til alle punkter i systemet er lik , er det nødvendig og tilstrekkelig at alle generaliserte krefter er lik null

. (228")

3.6.7. Generell ligning av dynamikk

Generell ligning av dynamikk for et system med eventuelle begrensninger (det kombinerte d'Alembert-Lagrange-prinsippet eller generell mekanisk ligning):

, (229)

hvor Påføres den aktive kraften -te punkt i systemet; - styrken av reaksjonen av bindinger;
- poengets treghetskraft; - mulig bevegelse.

I tilfelle av likevekt i systemet, når alle treghetskreftene til systemets punkter blir , blir det til prinsippet om mulige forskyvninger. Det brukes vanligvis til systemer med ideelle begrensninger for hvilke tilstanden

I dette tilfellet (229) tar en av skjemaene:

,

,

. (230)

Dermed, i henhold til den generelle ligningen av dynamikk, når som helst et bevegelsesøyeblikk av et system med ideelle begrensninger, er summen av elementært arbeid av alle aktive krefter og treghetskrefter for punkter i systemet lik null på enhver mulig forskyvning av systemet som er tillatt av begrensningene.

Den generelle ligningen av dynamikk kan gis andre, likeverdige former. Ved å utvide det skalære produktet av vektorer, kan det uttrykkes som

hvor
- koordinater -te punkt i systemet. Tatt i betraktning at projeksjonene av treghetskreftene på koordinataksene gjennom projeksjonene av akselerasjonene på disse aksene uttrykkes av forholdene

,

den generelle ligningen av dynamikk kan gis formen

I denne formen kalles det generell ligning av dynamikk i analytisk form.

Når du bruker den generelle ligningen av dynamikk, er det nødvendig å kunne beregne det grunnleggende arbeidet til systemets treghetskrefter på mulige forskyvninger. For dette brukes de tilsvarende formlene for elementært arbeid, oppnådd for konvensjonelle krefter. La oss vurdere deres anvendelse for treghetskreftene til et stivt legeme i spesielle tilfeller av dets bevegelse.

Når du går fremover. I dette tilfellet har kroppen tre frihetsgrader og kan på grunn av de pålagte begrensningene bare utføre translasjonsbevegelse. Mulige forskyvninger av kroppen, som tillater forbindelser, er også translasjonelle.

Treghetskreftene under translationell bevegelse reduseres til det resulterende
... For summen av elementært arbeid av treghetskrefter på translasjonell mulig forskyvning av kroppen, får vi

hvor
- mulig forskyvning av massesenteret og hvilket som helst punkt i kroppen, siden den translasjonelle mulige forskyvningen på alle kroppspunkter er den samme: akselerasjonene er også de samme, dvs.
.

Når et stivt legeme roterer rundt en fast akse. Kroppen har i dette tilfellet en grad av frihet. Den kan rotere rundt en fast akse
... Den mulige bevegelsen, som er tillatt av de pålagte begrensningene, er også en rotasjon av kroppen gjennom en elementær vinkel
rundt en fast akse.

Treghetskrefter redusert til et punkt på rotasjonsaksen, reduseres til hovedvektoren og hovedpoenget
... Hovedvektoren for treghetskrefter påføres et fast punkt, og dets elementære arbeid med en mulig forskyvning er null. For det viktigste treghetsmomentet vil elementært arbeid som ikke er lik null bare utføres av dets projeksjon på rotasjonsaksen
... Således har vi for summen av arbeidet til treghetskrefter på den mulige forskyvningen

,

hvis vinkelen
rapporter i retning av buepilen til vinkelakselerasjonen .

Med flat bevegelse. Begrensningene som er pålagt en stiv kropp tillater bare en mulig flybevegelse i dette tilfellet. Generelt sett består den av en translasjonell mulig bevegelse sammen med polen, som vi velger massesenter for, og rotasjon gjennom en elementær vinkel
rundt aksen
passerer gjennom massesenteret og vinkelrett på planet, parallelt med hvilket kroppen kan utføre plan bevegelse.

Siden treghetskreftene i planbevegelsen til et stivt legeme kan reduseres til hovedvektoren og hovedpoenget
(hvis massesenteret blir valgt som referansesenter), så vil summen av elementært arbeid av treghetskrefter på en mulig planforskyvning reduseres til elementært arbeid fra den andre vektoren av treghetskrefter
om mulig forskyvning av massesenteret og det grunnleggende arbeidet til treghetsmomentet på den elementære rotasjonsforskyvningen rundt aksen
passerer gjennom massesenteret. I dette tilfellet kan elementærarbeid som ikke er lik null bare utføres av projeksjonen av hoved treghetsmomentet på aksen.
, dvs.
... Således har vi i saken som er under behandling

hvis rotasjonen i en elementær vinkel
pek i en buepil for .

La oss ha et system med materielle punkter, med forbehold om at s opprettholder begrensninger, hvis ligninger har formen gitt ovenfor.

Hvis systemet var gratis, ville alle de kartesiske koordinatene til dets punkter være uavhengige. For å indikere systemets posisjon, ville det være nødvendig å spesifisere alle de kartesiske koordinatene til punktene. I et ikke-fritt mekanisk system med kartesiske koordinater, må dets punkter tilfredsstille ligninger av begrensninger, og derfor er bare koordinatene uavhengige.

Antall uavhengige skalære størrelser som unikt bestemmer posisjonen til et mekanisk system i rommet kalles antall systemets frihetsgrader.

Følgelig har et mekanisk system bestående av N-frie materialpunkter frihetsgrader. Et ikke-fritt system av N-materiale peker med s begrensende begrensninger av gradene av frihet.

Ved å bestemme posisjonen til et ikke-gratis system, kan vi uavhengig spesifisere bare koordinater; de resterende s koordinatene bestemmes ut fra begrensningsligningene. Imidlertid kan posisjonen til et ikke-fritt system settes på en mer praktisk måte - i stedet for uavhengige kartesiske koordinater, angi det samme antall andre geometriske størrelser som kartesiske koordinater (både avhengige og uavhengige) kan uttrykkes unikt. Som slike størrelser, kalt generelle koordinater for systemet, kan vinkler, lineære avstander, områder, etc. velges. Praktisk er at de generelle koordinatene kan velges under hensyntagen til de pålagte forbindelsene, dvs. i samsvar med arten av bevegelsen som er tillatt for systemet av hele settet av pålagte forbindelser. I dette tilfellet blir linkene tatt i betraktning automatisk, og det er ikke behov for å løse ligningene til lenker med hensyn til de avhengige koordinatene.

Eksempel 1. Posisjonen til en fysisk pendel bestående av en tung stang O A svingbart festet ved punkt O bestemmes fullstendig ved å spesifisere en vinkel (fig. 78). Hvis vinkelen er spesifisert, kan de kartesiske koordinatene beregnes for et hvilket som helst punkt i linjen med en gitt avstand:

Eksempel 2. For et mekanisk system som består av en matematisk pendel på en bevegelig plattform (fig. 79), bestemmes posisjonen i rommet fullstendig av verdiene til s og (gitt).

Plattformens posisjon bestemmes av avstanden s, koordinatene til punktmassen M blir også enkelt beregnet:

Mengdene (eksempel 1) og s (eksempel 2) er de generelle koordinatene til disse systemene. Dette konseptet kan utvides til å omfatte tilfeldigheter med et vilkårlig mekanisk system.

Dermed er de generelle koordinatene til et mekanisk system alle geometriske størrelser uavhengig av hverandre som unikt bestemmer systemets posisjon i rommet. Antall generaliserte koordinater er lik antall frihetsgrader i systemet.

Uavhengig av den geometriske betydningen og følgelig dimensjonen er de generaliserte koordinatene betegnet på en jevn måte, bokstaven q med tallet :. Fra det faktum at de generelle koordinatene unikt bestemmer posisjonen til det mekaniske systemet i det valgte koordinatsystemet Oxyz, følger det at det er funksjoner

uttrykker de kartesiske koordinatene til alle punkter i systemet når det gjelder generelle koordinater og kanskje tid t. Den spesifikke formen for disse funksjonene er angitt for hvert system (se eksempler 1 og 2).

Hvis vi introduserer radiusvektorene til punktene (), kan disse funksjonene vises i vektorform

La oss nå introdusere konseptet med en generalisert kraft. La oss fikse systemet på et vilkårlig tidspunkt t og fortelle det om mulig forskyvning fra denne posisjonen.

La de generelle koordinatene motta trinn (variasjoner) som et resultat. Vi finner de tilsvarende elementære forskyvningene av systemets punkter ved å beregne differensialene til funksjonene på et fast () tidspunkt:

Når vi beregner mulig arbeid av de påførte kreftene, finner vi:

Det kan sees at det mulige arbeidet uttrykkes av en homogen funksjon av første grad (lineær form) med hensyn til variasjoner av de generelle koordinatene med koeffisientene

dvs. e. har skjemaet

Koeffisientene kalles generaliserte krefter.

Dermed har hver generaliserte koordinat sin egen generaliserte kraft. I dette tilfellet er den generaliserte kraften som tilsvarer den generaliserte koordinaten, variasjonskoeffisienten til denne generaliserte koordinaten i uttrykket for det mulige arbeidet med kreftene som påføres systemets punkter.

Generelle krefter kan legges inn for individuelle grupper av krefter, for eksempel for aktive krefter, for bindingsreaksjoner, for potensielle krefter, etc. Deretter vil den totale generaliserte kraften uttrykkes av summen av de generaliserte kreftene som tilsvarer disse valgte gruppene. Så hvis de virkende kreftene er delt inn i aktive krefter og bindingsreaksjoner, vil de totale generaliserte kreftene være like

hvor er generaliserte aktive krefter, er generaliserte bindingsreaksjoner.

Generelle reaksjoner av ideelle bindinger er alltid null. Av denne grunn kan reaksjonene til ideelle bindinger ignoreres når man beregner generaliserte krefter.

Eksempel 3. Beregn den generelle kraften til et fysisk pendel som består av en stang OA med lengde og masse (fig. 80).

Beslutning. En fysisk pendel er et system med en grad av frihet. Derfor blir posisjonen til pendelen bestemt av en generalisert koordinat, som vi vil velge hellingsvinkelen til vertikal.

Vi representerer pendelen i en vilkårlig posisjon, vi bruker de virkende kreftene. Reaksjonene i støtte A trenger ikke vises, siden hengslet er et ideelt bånd og dets bidrag til den generaliserte kraften er null. Vi forteller systemet en mulig bevegelse - en elementær rotasjon av pendelen gjennom en vinkel i retning av stigende vinkel. Arbeidet utføres bare av vekten av pendelen. Anvendelsespunktet (tyngdepunktet C for stangen) vil beskrive en bue med en lengde, mens den vil stige langs vertikalen med en mengde, etter å ha utført elementært arbeid