Verditabell for trigonometriske funksjoner av vinkler. Det foreslåtte matematiske apparatet er en komplett analog av den komplekse beregningen for n-dimensjonale hyperkomplekse tall med et hvilket som helst antall frihetsgrader n og er ment for matematisk modellering

Denne artikkelen inneholder tabeller med sinus, cosinus, tangens og cotangents... Først gir vi en tabell over hovedverdiene til trigonometriske funksjoner, det vil si en tabell med sinus, cosinus, tangens og cotangens med vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radian). Etter det vil vi gi en tabell over sines og cosinus, samt en tabell over tangenser og cotangents av V.M. Bradis, og vise hvordan du bruker disse tabellene når du finner verdiene til trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Tabell over sinus, cosinus, tangens og cotangents for vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ... grader

Liste over referanser.

• Algebra: Lærebok. for 9 cl. onsdag skole / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: Ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen på analysen: Lærebok. for 10-11 cl. onsdag shk. - 3. utg. - M.: Education, 1993. - 351 s.: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen på analysen: Lærebok. for 10-11 cl. allmennutdanning. institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (håndbok for søkere til tekniske skoler): Lærebok. manual. - M.; Høyere. shk., 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller: For generell utdanning. studere. institusjoner. 2. utg. - M.: Bustard, 1999. - 96 s.: Ill. ISBN 5-7107-2667-2

Verditabeller av sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), cotangents (ctg) er et kraftig og nyttig verktøy som hjelper til å løse mange problemer, både teoretiske og anvendte. I denne artikkelen gir vi en tabell over de viktigste trigonometriske funksjonene (sinus, cosinus, tangens og cotangents) for vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader (0, π 6, π 3, π 2, ....., 2 π radianer). Separate Bradis-tabeller for sinus og cosinus, tangenter og cotangenter vil også vises, med en forklaring på hvordan du bruker dem til å finne verdiene til grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Tabell over grunnleggende trigonometriske funksjoner for vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader

Basert på definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens, kan du finne verdiene til disse funksjonene i vinkler på 0 og 90 grader

sin 0 \u003d 0, cos 0 \u003d 1, t g 0 \u003d 0, cotangenten til null er ikke definert,

sin 90 ° \u003d 1, cos 90 ° \u003d 0, med t g 90 ° \u003d 0, er tangens til graden ikke definert.

Verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangents i geometrisk forløp er definert som sideforhold for en rettvinklet trekant hvis vinkler er 30, 60 og 90 grader, og også 45, 45 og 90 grader.

Bestemmelse av trigonometriske funksjoner for en spiss vinkel i en rett trekant

Sinus - forholdet mellom motsatt ben og hypotenusen.

Cosine - forholdet mellom tilstøtende ben og hypotenusen.

Tangent - forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende.

Cotangent - forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte.

I samsvar med definisjonene er verdiene til funksjonene funnet:

sin 30 ° \u003d 1 2, cos 30 ° \u003d 3 2, tg 30 ° \u003d 3 3, ctg 30 ° \u003d 3, sin 45 ° \u003d 2 2, cos 45 ° \u003d 2 2, tg 45 ° \u003d 1, ctg 45 ° \u003d 1, sin 60 ° \u003d 3 2, cos 45 ° \u003d 1 2, tg 45 ° \u003d 3, ctg 45 ° \u003d 3 3.

La oss oppsummere disse verdiene i en tabell og kalle den tabellen over de grunnleggende verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Tabell over grunnleggende verdier av sinus, cosinus, tangens og cotangents

En av de viktigste egenskapene til trigonometriske funksjoner er periodisitet. Basert på denne egenskapen kan denne tabellen utvides ved hjelp av støpte formler. Nedenfor presenterer vi en utvidet verditabell for de viktigste trigonometriske funksjonene for vinklene 0, 30, 60, ..., 120, 135, 150, 180, ..., 360 grader (0, π 6, π 3, π 2, ..., 2 π radianer).

Tabell over sinus, cosinus, tangens og cotangents

Periodisiteten til sinus, cosinus, tangens og cotangens lar deg utvide denne tabellen til vilkårlig store vinkler. Verdiene samlet i tabellen brukes oftest til å løse problemer, så det anbefales å huske dem.

Hvordan bruke tabellen med grunnleggende verdier for trigonometriske funksjoner

Prinsippet om å bruke verditabellen til sinus, cosinus, tangens og cotangents er tydelig på et intuitivt nivå. Skjæringspunktet mellom raden og kolonnen gir funksjonsverdien for det aktuelle hjørnet.

Eksempel. Hvordan bruke tabellen med sinus, cosinus, tangens og cotangents

Du må finne ut hva som er synd 7 π 6

Finn en kolonne i tabellen, hvor verdien av den siste cellen er 7 π 6 radianer - det samme som 210 grader. Deretter velger vi begrepet i tabellen der verdiene til sines presenteres. I krysset mellom rad og kolonne finner vi ønsket verdi:

sin 7 π 6 \u003d - 1 2

Bradis bord

Bradis-tabellen lar deg beregne verdien av sinus, cosinus, tangens eller cotangens med en nøyaktighet på 4 desimaler uten bruk av datateknologi. Dette er en slags erstatning for en ingeniørkalkulator.

referanse

Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - Sovjetisk matematiker-lærer, siden 1954 et tilsvarende medlem av USSR Academy of Pedagogical Sciences. Bradis 'tabeller over firesifrede logaritmer og naturlige trigonometriske verdier ble først publisert i 1921.

Først gir vi Bradis-tabellen for sinus og cosinus. Den lar deg nøyaktig beregne de omtrentlige verdiene til disse funksjonene for vinkler som inneholder et helt antall grader og minutter. Kolonnen til venstre i tabellen viser grader, og den øverste raden viser minutter. Merk at alle vinkler i Bradis-tabellen er multipler på seks minutter.

Bradis bord for sinus og cosinus

For å finne verdiene til sinus og cosinus for vinkler som ikke er presentert i tabellen, er det nødvendig å bruke korreksjoner.

Nå gir vi Bradis-bordet for tangenter og cotangents. Den inneholder tangenser av vinkler fra 0 til 76 grader, og cotangenser av vinkler fra 14 til 90 grader.

Bradis bord for tangens og cotangens

Hvordan bruke Bradis-bord

Tenk på Bradis-bordet for sines og cosinus. Alt relatert til bihulene er øverst og venstre. Hvis vi trenger cosinus, ser vi på høyre side nederst på bordet.

For å finne verdiene til sinusen i en vinkel, må du finne skjæringspunktet mellom raden som inneholder det nødvendige antallet grader i cellen lengst til venstre og kolonnen som inneholder det nødvendige antall minutter i den øvre cellen.

Hvis den nøyaktige verdien av vinkelen ikke er i Bradis-tabellen, bruker vi korreksjoner. Rettelser i ett, to og tre minutter er gitt i kolonnene til høyre i tabellen. For å finne verdien av sinusen til en vinkel som ikke er i tabellen, finner vi verdien nærmest den. Deretter legger du til eller trekker fra korreksjonen som tilsvarer forskjellen mellom vinklene.

Hvis vi leter etter sinusen til en vinkel som er større enn 90 grader, må vi først bruke reduksjonsformlene, og først da - Bradis-tabellen.

Eksempel. Hvordan bruke Bradis-bordet

Anta at du må finne sinusen til vinkelen 17 ° 44 ". Ifølge tabellen finner vi hva sinusen på 17 ° 42" er og legger til en verdi en korreksjon i to minutter:

17 ° 44 "- 17 ° 42" \\ u003d 2 \\ "(ikke om w o d i a i a i o r a y) sin 17 ° 44" \\ u003d 0. 3040 + 0. 0006 \u003d 0. 3046

Prinsippet om å jobbe med cosinus, tangens og cotangents er likt. Det er imidlertid viktig å huske på tegnet på endringene.

Viktig!

Ved beregning av verdiene til sinus har korreksjonen et positivt tegn, og ved beregning av cosinus må korreksjonen tas med et negativt tegn.

Hvis du merker en feil i teksten, vennligst velg den og trykk Ctrl + Enter

Verditabellen for trigonometriske funksjoner

Merk... Denne tabellen over trigonometriske funksjonsverdier bruker √-tegnet for å indikere kvadratroten. For å betegne en brøkdel - symbolet "/".

se også nyttige materialer:

Til bestemme verdien av den trigonometriske funksjonen, finn den i skjæringspunktet mellom den trigonometriske funksjonslinjen. For eksempel, sinus 30 grader - se etter en kolonne med overskriften sin (sinus) og finn skjæringspunktet til denne kolonnen i tabellen med linjen "30 grader", i krysset deres leser vi resultatet - ett sekund. Tilsvarende finner vi cosinus 60 grader, sinus 60 grader (nok en gang, i skjæringspunktet mellom sin-kolonnen (sinus) og 60 graders rad, finner vi verdien sin 60 \u003d √3 / 2), etc. På samme måte finnes verdiene til sinus, cosinus og tangens fra andre "populære" vinkler.

Sinus av pi, cosinus av pi, tangens av pi og andre vinkler i radianer

Tabellen med cosinus, sinus og tangens nedenfor er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument gitt i radianer... For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Dette muliggjør konvertering av populære vinkler fra grader til radianer. La oss for eksempel finne en vinkel på 60 grader i første linje og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π / 3 radianer.

Tallet pi uttrykker unikt avhengigheten av omkretsen til graden av vinkelen. Dermed er pi radianer lik 180 grader.

Ethvert tall uttrykt i form av pi (radian) kan enkelt konverteres til et grademål ved å erstatte pi (π) med 180.

Eksempler av:
1. Sine pi.
sin π \u003d sin 180 \u003d 0
dermed er sinus til pi den samme som sinus på 180 grader og er null.

2. Cosine pi.
cos π \u003d cos 180 \u003d -1
således er cosinus av pi det samme som cosinus på 180 grader og er lik minus ett.

3. Tangent pi
tg π \u003d tg 180 \u003d 0
således er tangenten til pi den samme som tangenten på 180 grader og er null.

Tabell over sinus, cosinus, tangensverdier for vinkler 0 - 360 grader (vanlige verdier)

Hvis en bindestrek (tangent (tg) 90 grader, cotangent (ctg) 180 grader) er angitt i verditabellen for trigonometriske funksjoner i stedet for funksjonsverdien, har funksjonen ingen bestemt betydning for denne verdien av gradsmål av vinkelen. Hvis det ikke er bindestrek - cellen er tom, har vi ennå ikke angitt den nødvendige verdien. Vi er interessert i hvilke forespørsler brukerne kommer til oss og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at de nåværende dataene om verdiene til cosinus, sines og tangens til de hyppigst forekommende vinkelverdiene er ganske nok til å løse de fleste problemer.

Verditabell for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "som i Bradis-tabeller")

TABELL AV VERDIER AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Verditabellen for trigonometriske funksjoner er samlet for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 og 360 grader og tilsvarende verdier for vinkler i radianer. Av de trigonometriske funksjonene viser tabellen sinus, cosinus, tangens, cotangens, secant og cosecant. For å gjøre det lettere å løse skoleeksempler, er verdiene til trigonometriske funksjoner i tabellen skrevet i form av en brøkdel med bevaring av tegnene på å trekke kvadratroten fra tall, noe som ofte hjelper til med å redusere komplekse matematiske uttrykk. For tangens og cotangens kan noen vinkler ikke bestemmes. For verdiene til tangenten og cotangensen til slike vinkler, er det en strek i verditabellen for trigonometriske funksjoner. Det er generelt akseptert at tangenten og cotangensen til slike vinkler er lik uendelig. På en egen side er det formler for reduksjon av trigonometriske funksjoner.

Verditabellen for den trigonometriske sinusfunksjonen viser verdier for følgende vinkler: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 i grader, som tilsvarer sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi i radian vinkelmål. Skolebord av sines.

For den trigonometriske funksjonen cosinus, viser tabellen verdiene for følgende vinkler: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 i grader, som tilsvarer cos 0 pi , cos pi med 6, cos pi ved 4, cos pi ved 3, cos pi ved 2, cos pi, cos 3 pi ved 2, cos 2 pi i radialt mål av vinkler. Skolebord med cosinus.

Den trigonometriske tabellen for den trigonometriske funksjonstangenten gir verdier for følgende vinkler: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 i grad, som tilsvarer tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi / 3, tg pi, tg 2 pi i radialt mål av vinkler. Følgende verdier av de trigonometriske funksjonene til tangenten er ikke definert tg 90, tg 270, tan pi / 2, tan 3 pi / 2 og antas å være uendelig.

For den trigonometriske cotangentfunksjonen i den trigonometriske tabellen, er verdiene for følgende vinkler gitt: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 i grad, som tilsvarer ctg pi / 6, ctg pi / 4 , ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 i radianmål av vinkler. Følgende verdier av de trigonometriske cotangentfunksjonene er udefinert ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi og anses å være uendelig.

Verdiene til de secant og cosecant trigonometriske funksjonene er gitt for de samme vinklene i grader og radianer som sinus, cosinus, tangens, cotangens.

I tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner av ikke-standardvinkler, er verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens gitt for vinkler i grader 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grader og i radianer pi / 12, pi / 10, pi / 8, pi / 5, 3pi / 8, 2pi / 5 radianer. Verdiene til trigonometriske funksjoner uttrykkes gjennom brøker og kvadratrøtter for å forenkle reduksjonen av brøker i skoleeksempler.

Tre flere trigonometri-monstre. Den første er tangenten på 1,5 og en halv grad eller pi delt på 120. Den andre er cosinus av pi delt på 240, pi / 240. Den lengste er cosinus av pi delt på 17, pi / 17.

Den trigonometriske verdiskretsen til sinus- og cosinusfunksjonene representerer tydelig tegn på sinus og cosinus, avhengig av størrelsen på vinkelen. Spesielt for blondiner er kosinusverdiene understreket med en grønn strek for å redusere forvirring. Konvertering av grader til radianer presenteres også veldig tydelig når radianer uttrykkes gjennom pi.

Denne trigonometriske tabellen gir sinus-, cosinus-, tangens- og cotangensverdier for vinkler fra 0 null til 90 nitti grader i trinn på en grad. I de første førtifem gradene skal navnene på de trigonometriske funksjonene finnes øverst i tabellen. Den første kolonnen viser grader, verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangents er registrert i de neste fire kolonnene.

For vinkler fra førti-fem grader til nitti grader, er navnene på de trigonometriske funksjonene skrevet nederst i tabellen. Den siste kolonnen inneholder grader, verdiene til cosinus, sinus, cotangents og tangents er registrert i de fire foregående kolonnene. Vær forsiktig, fordi navnene på de trigonometriske funksjonene nederst i den trigonometriske tabellen skiller seg fra navnene øverst i tabellen. Sinus og cosinus byttes, akkurat som tangens og cotangens. Dette skyldes symmetrien til verdiene til trigonometriske funksjoner.

Tegnene på trigonometriske funksjoner er vist i figuren ovenfor. Sinus har positive verdier fra 0 til 180 grader eller 0 til pi. Negative sinusverdier varierer fra 180 til 360 grader eller pi til 2 pi. Kosinusverdiene er positive fra 0 til 90 og 270 til 360 grader, eller 0 til 1/2 pi og 3/2 til 2 pi. Tangent og cotangent har positive verdier fra 0 til 90 grader og fra 180 til 270 grader, som tilsvarer verdier fra 0 til 1/2 pi og fra pi til 3/2 pi. Negative tangens- og cotangensverdier varierer fra 90 til 180 grader og 270 til 360 grader, eller 1/2 pi til pi og 3/2 pi til 2 pi. Når du bestemmer tegn på trigonometriske funksjoner for vinkler større enn 360 grader eller 2 pi, bør periodisitetsegenskapene til disse funksjonene brukes.

De trigonometriske funksjonene sinus, tangens og cotangens er odde funksjoner. Verdiene til disse funksjonene for negative vinkler vil være negative. Kosinus er en jevn trigonometrisk funksjon - kosinusverdien for en negativ vinkel vil være positiv. Når du multipliserer og deler trigonometriske funksjoner, må du følge skiltene.

1. Verditabellen for den trigonometriske sinusfunksjonen viser verdiene for følgende vinkler

   Dokument

   En egen side inneholder reduksjonsformler trigonometriskfunksjoner... I bordverdiertiltrigonometriskfunksjonsinuser gittbetydningtilfølgendehjørner: synd 0, synd 30, synd 45 ...

2. Det foreslåtte matematiske apparatet er en komplett analog av den komplekse beregningen for n-dimensjonale hyperkomplekse tall med et hvilket som helst antall frihetsgrader n og er ment for matematisk modellering av ikke-lineær

   Dokument

   ... funksjon likt funksjon Bilder. Fra denne teoremet bør, hva til å finne koordinatene U, V, er det nok å beregne funksjon ... geometri; polynar funksjon (flerdimensjonale analoger av todimensjonale trigonometriskfunksjoner), deres egenskaper, bord og søknad; ...

3. Enkelt sagt, dette er grønnsaker kokt i vann etter en spesiell oppskrift. Jeg vil vurdere to innledende komponenter (grønnsakssalat og vann) og det ferdige resultatet - borscht. Geometrisk kan dette ses på som et rektangel med den ene siden som representerer salat og den andre siden som representerer vann. Summen av disse to sidene vil representere borsjtsj. Diagonalen og området til et slikt "borscht" -rektangel er rent matematiske begreper og brukes aldri i borsjtsoppskrifter.

   
   Hvordan blir salat og vann matematisk til borsjtsj? Hvordan kan summen av to linjesegment bli trigonometri? For å forstå dette trenger vi lineære vinkelfunksjoner.

   
   Du vil ikke finne noe om lineære vinkelfunksjoner i matematikk lærebøker. Men uten dem kan det ikke være matematikk. Matematikkens lover, i likhet med naturlovene, fungerer uansett om vi vet om deres eksistens eller ikke.

   Lineære vinkelfunksjoner er tilleggslover. Se hvordan algebra blir til geometri og geometri blir til trigonometri.

   Kan man unngå lineære vinkelfunksjoner? Du kan, fordi matematikere fremdeles gjør seg uten dem. Matematikernes triks ligger i det faktum at de alltid bare forteller oss om de problemene de selv vet hvordan de skal løse, og aldri snakker om de problemene de ikke kan løse. Se. Hvis vi vet resultatet av addisjon og ett begrep, bruker vi subtraksjon for å finne det andre begrepet. Alle. Vi kjenner ikke andre oppgaver og vet ikke hvordan vi skal løse. Hva skal vi gjøre hvis vi bare vet resultatet av tillegg og ikke kjenner begge begrepene? I dette tilfellet må resultatet av tilsetningen spaltes i to termer ved bruk av lineære vinkelfunksjoner. Så velger vi selv hva en term kan være, og de lineære vinkelfunksjonene viser hva den andre termen skal være slik at resultatet av tillegget er akkurat det vi trenger. Det kan være et uendelig antall slike par av begreper. I hverdagen klarer vi oss perfekt uten spaltning av summen, subtraksjon er nok for oss. Men i vitenskapelig forskning av naturlovene kan nedbrytningen av summen i termer være veldig nyttig.

   En annen lov om tillegg, som matematikere ikke liker å snakke om (et annet triks av deres), krever at begrepene har samme måleenheter. For salat, vann og borscht kan dette være vektenheter, volum, verdi eller måleenheter.

   Figuren viser to nivåer av forskjell for matematikk. Det første nivået er forskjellene i tallfeltet, som er indikert en, b, c... Dette er hva matematikere gjør. Det andre nivået er forskjellene i området for måleenheter, som er vist i hakeparentes og angitt med bokstaven U... Dette er hva fysikere gjør. Vi kan forstå det tredje nivået - forskjeller i området til de beskrevne objektene. Ulike objekter kan ha samme antall identiske måleenheter. Hvor viktig dette er, kan vi se på eksemplet med borsjt trigonometri. Hvis vi legger til abonnement til samme betegnelse på måleenheter for forskjellige objekter, kan vi si nøyaktig hvilken matematisk verdi som beskriver et bestemt objekt og hvordan det endrer seg over tid eller i forbindelse med våre handlinger. Ved brev W Jeg vil betegne vann med brevet S Jeg skal betegne salaten og brevet B - borsch. Slik ser de lineære vinkelfunksjonene for borsch ut.

   Hvis vi tar noe av vannet og noe av salaten, blir de sammen til en porsjon borsjcht. Her foreslår jeg at du tar en pause fra borsjten og husker den fjerne barndommen din. Husker du hvordan vi ble lært å sette kaniner og ender sammen? Det var nødvendig å finne hvor mange dyr det ville være. Hva ble vi da lært å gjøre? Vi ble lært å skille enheter fra tall og legge til tall. Ja, et hvilket som helst tall kan legges til et hvilket som helst annet nummer. Dette er en direkte vei til autismen til moderne matematikk - vi gjør det er ikke klart hva, det er ikke klart hvorfor, og vi forstår veldig dårlig hvordan dette forholder seg til virkeligheten, på grunn av de tre forskjellnivåene, fungerer matematikk bare en . Det ville være riktigere å lære å bytte fra en måleenhet til en annen.

   Og kaniner og ender og dyr kan telles i stykker. Én vanlig måleenhet for forskjellige objekter lar oss legge dem sammen. Dette er en barnslig versjon av problemet. La oss se på et lignende problem for voksne. Hva skjer hvis du legger til kaniner og penger? Det er to mulige løsninger her.

   Første alternativ... Vi bestemmer markedsverdien til kaninene og legger den til tilgjengelig mengde penger. Vi fikk den totale verdien av formuen vår i monetære termer.

   Andre alternativ... Du kan legge til antall kaniner i antall sedler vi har. Vi vil motta antall løsøre i stykker.

   Som du kan se, tillater den samme loven om tillegg at du kan få forskjellige resultater. Alt avhenger av hva vi akkurat vil vite.

   Men tilbake til borsjten vår. Nå kan vi se hva som vil skje for forskjellige verdier av vinkelen til de lineære vinkelfunksjonene.

   Vinkelen er null. Vi har salat, men ikke vann. Vi kan ikke lage borscht. Mengden borsjcht er også null. Dette betyr ikke i det hele tatt at null borst er lik null vann. Zero borscht kan være i null salat (rett vinkel).

   
   For meg personlig er dette det viktigste matematiske beviset på at. Null endrer ikke tallet når det legges til. Dette er fordi selve tillegget er umulig hvis det bare er ett begrep og det andre begrepet mangler. Du kan forholde deg til dette som du vil, men husk - alle matematiske operasjoner med null ble oppfunnet av matematikere selv, så kast logikken din og dumme stappdefinisjoner oppfunnet av matematikere: "divisjon med null er umulig", "hvilket som helst tall multiplisert med null er lik null "," for knock-out point zero "og annet delirium. Det er nok å huske en gang at null ikke er et tall, og du vil aldri ha et spørsmål om null er et naturlig tall eller ikke, fordi et slikt spørsmål generelt mister noen betydning: hvordan kan vi betrakte et tall som ikke er et tall. Det er som å spørre hvilken farge en usynlig farge skal være. Å legge til null til et tall er som å male med maling som ikke eksisterer. Vi vinket med en tørr pensel og fortalte alle at "vi har malt". Men jeg går litt bort.

   Vinkelen er større enn , men mindre enn førtifem grader. Vi har mye salat, men ikke nok vann. Som et resultat får vi en tykk borsjcht.

   Vinkelen er førtifem grader. Vi har like store mengder vann og salat. Dette er den perfekte borsjten (ja, kokkene vil tilgi meg, det er bare matte).

   Vinkelen er større enn førtifem grader, men mindre enn nitti grader. Vi har mye vann og lite salat. Du får flytende borscht.

   Rett vinkel. Vi har vann. Fra salaten er det bare minner igjen, da vi fortsetter å måle vinkelen fra linjen som en gang sto for salaten. Vi kan ikke lage borscht. Mengden borsjcht er null. I dette tilfellet må du holde på og drikke vann mens du har det)))

   Her. Noe sånt som dette. Jeg kan fortelle andre historier her som vil være mer enn passende her.

   To venner hadde sine aksjer i den vanlige virksomheten. Etter å ha drept en av dem, gikk alt til den andre.

   Fremveksten av matematikk på planeten vår.

   Alle disse historiene blir fortalt på matematikkens språk ved hjelp av lineære vinkelfunksjoner. En annen gang vil jeg vise deg det virkelige stedet for disse funksjonene i strukturen til matematikken. I mellomtiden, la oss gå tilbake til trigonometrien til borsjten og vurdere anslagene.

   lørdag 26. oktober 2019

   onsdag 7. august 2019

   Avslutte samtalen om, er det et uendelig antall å vurdere. Resultatet er at begrepet "uendelig" virker på matematikere som en boa constrictor på en kanin. Uendelig skjelving av uendelig frarøver matematikere sunn fornuft. Her er et eksempel:

   Den opprinnelige kilden er lokalisert. Alpha står for reelt tall. Likhetstegnet i de ovennevnte uttrykkene indikerer at hvis du legger til et tall eller uendelig til uendelig, vil ingenting endre seg, resultatet blir den samme uendelig. Hvis vi tar et uendelig sett med naturlige tall som et eksempel, kan de vurderte eksemplene presenteres i følgende form:

   For å få et visuelt bevis på at de er korrekte, har matematikere kommet med mange forskjellige metoder. Personlig ser jeg på alle disse metodene som dansende sjamaner med tamburiner. I hovedsak koker de alle sammen til at enten noen av rommene ikke er okkupert og nye gjester flytter inn, eller at noen av de besøkende blir kastet ut i korridoren for å gi plass til gjester (veldig menneskelig). Jeg presenterte mitt syn på slike avgjørelser i form av en fantastisk historie om blondinen. Hva er begrunnelsen min basert på? Å flytte et uendelig antall besøkende tar uendelig lang tid. Etter at vi har forlatt det første rommet for en gjest, vil en av de besøkende alltid gå langs korridoren fra rommet sitt til det neste til slutten av århundret. Selvfølgelig kan tidsfaktoren ignoreres dumt, men dette kommer allerede fra kategorien "loven er ikke skrevet for dårer." Alt avhenger av hva vi gjør: å justere virkeligheten for å matche matematiske teorier eller omvendt.

   Hva er et "endeløst hotell"? Et endeløst hotell er et hotell som alltid har et hvilket som helst antall ledige steder, uansett hvor mange rom som er okkupert. Hvis alle rommene i den endeløse besøkerkorridoren er okkupert, er det en annen endeløs korridor med gjesterommene. Det vil være et uendelig antall slike korridorer. Videre har det "uendelige hotellet" et uendelig antall etasjer i et uendelig antall bygninger på et uendelig antall planeter i et uendelig antall universer skapt av et uendelig antall guder. Matematikere klarer imidlertid ikke å ta avstand fra vanlige hverdagsproblemer: Gud-Allah-Buddha er alltid bare ett, hotellet er ett, korridoren er bare ett. Her prøver matematikere å manipulere serienumrene på hotellrommene, og overbevise oss om at det er mulig å "skyve inn tingene."

   Jeg vil demonstrere logikken i resonnementet mitt for deg på eksemplet med et uendelig sett med naturlige tall. Først må du svare på et veldig enkelt spørsmål: hvor mange sett med naturlige tall er det - ett eller mange? Det er ikke noe riktig svar på dette spørsmålet, siden vi oppfant tall selv, i naturen er det ingen tall. Ja, naturen er utmerket til å telle, men til dette bruker hun andre matematiske verktøy som ikke er kjent for oss. Som naturen tror, \u200b\u200bvil jeg fortelle deg en annen gang. Siden vi oppfant tallene, vil vi selv bestemme hvor mange sett med naturlige tall det er. Vurder begge alternativene, slik det passer en ekte forsker.

   Alternativ ett. "La oss få" et enkelt sett med naturlige tall, som ligger rolig på sokkelen. Vi tar dette settet fra hyllen. Det er det, det er ingen andre naturlige tall igjen på hyllen, og det er ingen steder å ta dem. Vi kan ikke legge til et i dette settet, siden vi allerede har det. Og hvis du virkelig vil? Ikke noe problem. Vi kan ta en fra settet vi allerede har tatt, og returnere den til hyllen. Etter det kan vi ta en enhet fra hyllen og legge den til det vi har igjen. Som et resultat får vi igjen et uendelig sett med naturlige tall. Du kan skrive alle manipulasjonene våre slik:

   Jeg skrev ned handlingene i det algebraiske notasjonssystemet og i notasjonssystemet som ble brukt i mengdeori, med en detaljert oppregning av elementene i settet. Abonnementet indikerer at vi har ett eneste sett med naturlige tall. Det viser seg at settet med naturlige tall bare forblir uendret hvis man trekker fra det og legger til samme enhet.

   Alternativ to. Vi har mange forskjellige uendelige sett med naturlige tall på hylla vår. Jeg understreker - FORSKJELLIG, til tross for at de praktisk talt ikke kan skilles. Vi tar et av disse settene. Så tar vi ett fra et annet sett med naturlige tall og legger det til settet vi allerede har tatt. Vi kan til og med legge til to sett med naturlige tall. Her er hva vi får:

   Abonnement "ett" og "to" indikerer at disse elementene tilhørte forskjellige sett. Ja, hvis du legger til et i det uendelige settet, blir resultatet også et uendelig sett, men det vil ikke være det samme som det originale settet. Hvis vi legger til et annet uendelig sett til et uendelig sett, blir resultatet et nytt uendelig sett som består av elementene i de to første settene.

   Mange naturlige tall brukes til å telle på samme måte som en linjal for målinger. Tenk deg å legge til en centimeter til linjalen. Dette vil allerede være en annen linje, ikke lik originalen.

   Du kan godta eller ikke godta resonnementet mitt - det er din egen sak. Men hvis du noen gang kommer inn i matematiske problemer, kan du tenke på om du ikke følger den falske resonnementet som generasjoner av matematikere har tråkket på. Når alt kommer til alt, gjør matematikk først og fremst en stabil stereotype tenkning i oss, og bare da legger vi til mentale evner til oss (eller omvendt, fratar oss fri tenkning).

   pozg.ru

   søndag 4. august 2019

   Jeg skrev et etterskrift til en artikkel om og så denne fantastiske teksten på Wikipedia:

   Vi leser: "... det rike teoretiske grunnlaget for Babylons matematikk hadde ikke en helhetlig karakter og ble redusert til et sett med forskjellige teknikker, uten et felles system og evidensbase."

   Wow! Hvor smarte vi er og hvor godt vi kan se andres mangler. Er det vanskelig for oss å se på moderne matematikk i samme sammenheng? Litt omskrevet den ovennevnte teksten, fikk jeg personlig følgende:

   Det rike teoretiske grunnlaget for moderne matematikk er ikke helhetlig og kommer ned til et sett av forskjellige seksjoner uten et felles system og bevisbase.

   Jeg vil ikke gå langt for å bekrefte ordene mine - den har et språk og konvensjoner som er forskjellige fra språket og konvensjonene til mange andre grener av matematikk. De samme navnene i forskjellige matematikkområder kan ha forskjellige betydninger. Jeg vil vie en hel serie publikasjoner til de mest åpenbare feilene i moderne matematikk. Ser deg snart.

   lørdag 3. august 2019

   Hvordan dele inn et sett? For å gjøre dette må du legge inn en ny måleenhet som er til stede for noen av elementene i det valgte settet. La oss se på et eksempel.

   La oss få mange OGbestående av fire personer. Dette settet er dannet på grunnlag av "folk" La oss betegne elementene i dette settet ved bokstaven og, vil et abonnement med et siffer indikere det ordinære antallet til hver person i dette settet. La oss introdusere en ny måleenhet "sex" og betegne den med bokstaven b... Siden seksuelle egenskaper er iboende hos alle mennesker, multipliserer vi hvert element i settet OG etter kjønn b... Legg merke til at nå har vårt mangfold av "mennesker" blitt et mangfold av "mennesker med sexegenskaper." Etter det kan vi dele kjønnskarakteristikkene i maskulin bm og kvinner bw seksuelle egenskaper. Nå kan vi bruke et matematisk filter: vi velger en av disse kjønnsegenskapene, det spiller ingen rolle hvilken som er mann eller kvinne. Hvis en person har det, multipliserer vi det med ett, hvis det ikke er noe slikt tegn, multipliserer vi det med null. Og så bruker vi vanlig skolematematikk. Se hva som skjedde.

   Etter multiplikasjon, reduksjon og omorganisering fikk vi to delmengder: en delmengde av menn Bm og en delmengde av kvinner Bw... Matematikere tenker omtrent det samme når de bruker mengdeori i praksis. Men de viet oss ikke til detaljene, men gir et ferdig resultat - "et sett med mennesker består av en delmengde av menn og en delmengde av kvinner." Naturligvis kan du lure på hvor riktig matematikken brukes i transformasjonene ovenfor? Jeg våger å forsikre deg om at alt ble gjort riktig, det er nok å kjenne det matematiske grunnlaget for aritmetikk, boolsk algebra og andre grener av matematikk. Hva det er? En annen gang skal jeg fortelle deg om det.

   Når det gjelder supersett, kan du kombinere to sett i ett supersett ved å velge måleenheten som er tilstede for elementene i disse to settene.

   Som du kan se, gjør enheter og vanlig matematikk mengdeteorien til fortiden. En indikasjon på at mengdeteori ikke er greit er at matematikere har kommet med sitt eget språk og notasjon for mengdeori. Matematikere gjorde det sjamaner en gang gjorde. Bare sjamaner vet hvordan "korrekt" kan brukes "kunnskapen". De lærer oss denne "kunnskapen".

   Til slutt vil jeg vise deg hvordan matematikere manipulerer med.

   mandag 7. januar 2019

   I det femte århundre f.Kr. formulerte den gamle greske filosofen Zeno av Elea sine berømte aporier, hvorav den mest berømte er aporiaen "Achilles og skilpadden." Slik høres det ut:

   La oss si at Achilles løper ti ganger raskere enn en skilpadde og er tusen trinn bak den. I løpet av den tiden det tar Achilles å løpe denne distansen, vil skilpadden krype hundre trinn i samme retning. Når Achilles har løpt hundre trinn, vil skilpadden krype ti trinn til, og så videre. Prosessen vil fortsette på ubestemt tid, Achilles vil aldri ta igjen skilpadden.

   Denne resonnementet kom som et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Alle på en eller annen måte vurderte Zenos aporier. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjoner fortsetter for tiden, det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke klart å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, mengde teori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet ; ingen av dem har blitt en generelt akseptert løsning på spørsmålet ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget er.

   Fra matematikkens synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra størrelse til. Denne overgangen innebærer anvendelse i stedet for konstanter. Så vidt jeg forstår er det matematiske apparatet for å anvende variable måleenheter ennå ikke blitt utviklet, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss i en felle. Vi, ved inerti av tenking, bruker konstante måleenheter for tid til det gjensidige. Fra et fysisk synspunkt ser det ut som tidsutvidelse til den stopper helt i det øyeblikket Achilles er i nivå med skilpadden. Hvis tiden stanser, kan ikke Achilles lenger innhente skilpadden.

   Hvis vi snur logikken vi er vant til, faller alt på plass. Achilles løper i konstant fart. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelig" i denne situasjonen, ville det være riktig å si "Achilles vil uendelig raskt ta igjen skilpadden."

   Hvordan kan du unngå denne logiske fellen? Hold deg i konstant tidsenheter og ikke gå bakover. På Zenos språk ser det slik ut:

   I løpet av den tiden Achilles vil løpe tusen trinn, vil skilpadden krype hundre trinn i samme retning. I løpet av det neste tidsintervallet, lik det første, vil Achilles løpe ytterligere tusen trinn, og skilpadden vil krype hundre trinn. Nå er Achilles åtte hundre trinn foran skilpadden.

   Denne tilnærmingen beskriver tilstrekkelig virkeligheten uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om lysets hastighet er uoverkommelig, ligner veldig på Zeno aporia "Achilles og skilpadden". Vi må fremdeles studere, revurdere og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i uendelig stort antall, men i måleenheter.

   En annen interessant aporia Zeno forteller om en flygende pil:

   En flygende pil er urørlig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk, er den alltid i ro.

   I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok å avklare at i hvert øyeblikk hviler en flygende pil på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng bør bemerkes her. Det er umulig å fastslå verken dens bevegelse eller avstanden til det fra et enkelt fotografi av en bil på veien. For å bestemme fakta om bilens bevegelse, er det nødvendig med to fotografier, tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men avstanden kan ikke bestemmes fra dem. For å bestemme avstanden til bilen, trenger du to bilder tatt fra forskjellige steder i rommet samtidig, men de kan ikke bestemme bevegelsesfakta (selvfølgelig er det fortsatt behov for tilleggsdata for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg). Det jeg vil trekke spesiell oppmerksomhet til er at to tidspunkter og to punkter i rommet er forskjellige ting som ikke skal forveksles, fordi de gir ulike muligheter for forskning.
   La meg vise deg prosessen med et eksempel. Vi velger "rødt solid i en kvise" - dette er vår "helhet". Samtidig ser vi at disse tingene er med bue, men det er ingen buer. Etter det velger vi en del av "helheten" og danner et sett "med en bue". Dette er hvordan sjamaner nærer seg selv ved å knytte settteorien til virkeligheten.

   La oss nå gjøre et lite skittent triks. Ta "solid i en kvise med en bue" og kombiner disse "helhetene" etter farge, og velg de røde elementene. Vi fikk mye "rødt". Nå et spørsmål å fylle ut: de resulterende settene "med en bue" og "rød" er det samme settet, eller er de to forskjellige sett? Bare sjamaner vet svaret. Mer presist, de selv vet ikke noe, men som de sier, så være det.

   Dette enkle eksemplet viser at mengdeteori er helt ubrukelig når det gjelder virkeligheten. Hva er hemmeligheten? Vi har dannet et sett med "rødt fast stoff til en støt med en bue". Formasjonen fant sted i henhold til fire forskjellige måleenheter: farge (rød), styrke (solid), ruhet (i en kvise), ornamenter (med bue). Bare et sett med måleenheter gjør det mulig å tilstrekkelig beskrive virkelige objekter på matematikkens språk... Slik ser det ut.

   Bokstaven "a" med forskjellige indekser angir forskjellige måleenheter. Måleenheter er uthevet i parentes, hvorved "hele" tildeles på det innledende stadiet. Måleenheten, som settet dannes etter, tas ut av parentesene. Den siste linjen viser det endelige resultatet - elementet i settet. Som du kan se, hvis vi bruker måleenheter til å danne et sett, avhenger ikke resultatet av rekkefølgen på handlingene våre. Og dette er matematikk, og ikke dansende sjamaner med tamburiner. Sjamaner kan "intuitivt" komme til samme resultat og argumentere det "med bevis", fordi måleenheter ikke er inkludert i deres "vitenskapelige" arsenal.

   Det er veldig enkelt å bruke enheter til å dele ett eller kombinere flere sett i ett supersett. La oss se nærmere på algebraen til denne prosessen.