Ligning x er i den fjerde kraften lik. Kraft- eller eksponensielle ligninger. Rasjonelle røtter til et polynom

Mål:

1. Å systematisere og generalisere kunnskap og ferdigheter om temaet: Løsninger av ligninger av tredje og fjerde grad.
2. Utvid kunnskapen din ved å fullføre en rekke oppgaver, hvorav noen ikke er kjent hverken etter type eller løsning.
3. Dannelse av interesse for matematikk gjennom studiet av nye kapitler i matematikk, utdannelse av en grafisk kultur gjennom konstruksjon av ligninger.

Leksjonstype: kombinert.

Utstyr: overhead.

Synlighet: tabell "Vietas teorem".

I løpet av timene

1. Verbal telling

a) Hva er resten av å dele polynomet p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 med binomialet x-a?

b) Hvor mange røtter kan en kubisk ligning ha?

c) Hvordan løser vi ligningen til tredje og fjerde grad?

d) Hvis b er et partall i en kvadratisk ligning, hva er D og x 1; x 2

2. Uavhengig arbeid (i grupper)

Lag en ligning hvis røttene er kjent (svarene på oppgavene er kodet) "Vietas teorem" brukes

1. gruppe

Røtter: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 \u003d 6

Lag en ligning:

B \u003d 1-2-3 + 6 \u003d 2; b \u003d -2

c \u003d -2-3 + 6 + 6-12-18 \u003d -23; c \u003d -23

d \u003d 6-12 + 36-18 \u003d 12; d \u003d -12

e \u003d 1 (-2) (- 3) 6 \u003d 36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 \u003d 0 (denne ligningen løses deretter av gruppe 2 på tavlen)

Beslutning ... Vi ser etter heltalsrøtter blant delerne av tallet 36.

p \u003d ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ...

p 4 (1) \u003d 1-2-23-12 + 36 \u003d 0 Tallet 1 tilfredsstiller ligningen, derfor \u003d 1 rot av ligningen. I følge Horners opplegg

p 3 (x) \u003d x 3 -x 2 -24x -36

p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2

p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6

Svar: 1; -2; -3; 6 sum av røtter 2 (P)

2. gruppe

Røtter: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d x 3 \u003d 2; x 4 \u003d 5

Lag en ligning:

B \u003d -1 + 2 + 2 + 5-8; b \u003d -8

c \u003d 2 (-1) + 4 + 10-2-5 + 10 \u003d 15; c \u003d 15

D \u003d -4-10 + 20-10 \u003d -4; d \u003d 4

e \u003d 2 (-1) 2 * 5 \u003d -20; e \u003d -20

8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (gruppe 3 løser denne ligningen på tavlen)

p \u003d ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20.

p 4 (1) \u003d 1-8 + 15 + 4-20 \u003d -8

p 4 (-1) \u003d 1 + 8 + 15-4-20 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3-9x 2 + 24x -20

p 3 (2) \u003d 8-36 + 48 -20 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5

Svar: -1; 2; 2; 5 summen av røttene 8 (P)

Gruppe 3

Røtter: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3

Lag en ligning:

B \u003d -1 + 1-2 + 3 \u003d 1; B \u003d -1

c \u003d -1 + 2-3-2 + 3-6 \u003d -7; c \u003d -7

D \u003d 2 + 6-3-6 \u003d -1; d \u003d 1

e \u003d -1 * 1 * (- 2) * 3 \u003d 6

x 4 - x 3 - 7x 2 + x + 6 \u003d 0 (denne ligningen løses deretter på tavlen av gruppe 4)

Beslutning. Vi ser etter heltalsrøtter blant delerne av tallet 6.

p \u003d ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

p 4 (1) \u003d 1-1-7 + 1 + 6 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 - 7x -6

p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -x -6 \u003d 0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3

Svar: -1; 1; -2; 3 Summen av røttene 1 (O)

4 gruppe

Røtter: x 1 \u003d -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 \u003d -3

Lag en ligning:

B \u003d -2-2-3 + 3 \u003d -4; b \u003d 4

c \u003d 4 + 6-6 + 6-6-9 \u003d -5; c \u003d -5

D \u003d -12 + 12 + 18 + 18 \u003d 36; d \u003d -36

e \u003d -2 * (- 2) * (- 3) * 3 \u003d -36; e \u003d -36

x 4 +4x 3 - 5x 2 - 36x -36 \u003d 0 (denne ligningen løses deretter av 5. gruppe på tavlen)

Beslutning. Vi ser etter heltalsrøtter blant delerne av tallet -36

p \u003d ± 1; ± 2; ± 3 ...

p (1) \u003d 1 + 4-5-36-36 \u003d -72

p 4 (-2) \u003d 16-32 -20 + 72-36 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2-9 \u003d 0; x \u003d ± 3

Svar: -2; -2; -3; 3 Sum of roots-4 (F)

5 gruppe

Røtter: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 \u003d -4

Lag en ligning

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 \u003d 0 (denne ligningen løses deretter av gruppe 6 på tavlen)

Beslutning ... Vi ser etter heltalsrøtter blant delerne av tallet 24.

p \u003d ± 1; ± 2; ± 3

p 4 (-1) \u003d 1-10 + 35-50 + 24 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O

p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0

Svar: -1; -2; -3; -4 sum-10 (AND)

6 gruppe

Røtter: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1; x 3 \u003d -3; x 4 \u003d 8

Lag en ligning

B \u003d 1 + 1-3 + 8 \u003d 7; b \u003d -7

c \u003d 1-3 + 8-3 + 8-24 \u003d -13

D \u003d -3-24 + 8-24 \u003d -43; d \u003d 43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (denne ligningen løses deretter av en gruppe på tavlen)

Beslutning ... Vi ser etter heltalsrøtter blant delerne av tallet -24.

p 4 (1) \u003d 1-7-13 + 43-24 \u003d 0

p 3 (1) \u003d 1-6-19 + 24 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8

Svar: 1; 1; -3; 8 sum 7 (L)

3. Løsning av ligninger med en parameter

1. Løs ligningen x 3 + 3x 2 + mx - 15 \u003d 0; hvis en av røttene er (-1)

Skriv svaret i stigende rekkefølge

R \u003d P 3 (-1) \u003d - 1 + 3-m-15 \u003d 0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 \u003d 0; -1 + 3 + 13-15 \u003d 0

Etter tilstand x 1 \u003d - 1; D \u003d 1 + 15 \u003d 16

P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0

x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;

x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;

Svar: - 1; -5; 3

I stigende rekkefølge: -5; -1; 3. (L N S)

2. Finn alle røttene til polynomet x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, hvis resten av dens inndeling med binomaler x-1 og x +2 er like.

Løsning: R \u003d P 3 (1) \u003d P 3 (-2)

P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a

P3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3) -6 (x-3) \u003d 0

(x-3) (x 2-6) \u003d 0

3) a \u003d 0, x 2 -0 * x 2 +0 \u003d 0; x 2 \u003d 0; x 4 \u003d 0

a \u003d 0; x \u003d 0; x \u003d 1

a\u003e 0; x \u003d 1; x \u003d a ± √a

2. Lag en ligning

1. gruppe... Røtter: -4; -2; en; 7;

2. gruppe... Røtter: -3; -2; en; 2;

Gruppe 3... Røtter: -1; 2; 6; ti;

4 gruppe... Røtter: -3; 2; 2; fem;

5 gruppe... Røtter: -5; -2; 2; fire;

6 gruppe... Røtter: -8; -2; 6; 7.

Generelt sett blir løsningen av en ligning av den fjerde grad utført ved hjelp av metoder for å løse ligninger for høyere grader, for eksempel Ferrari-metoden eller ved bruk av Horner-skjemaet. Men noen 4. graders ligninger har en enklere løsning.

Det er flere spesielle typer ligninger i fjerde grad, måtene å løse som du vil bli kjent med nedenfor:

• Biquadratic ligning $ ax ^ 4 + bx ^ 2 + c \u003d 0 $;
• Refleksive ligninger av formen $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a \u003d 0 $;
• Ligninger av formen $ ax ^ 4 + b \u003d 0 $.

Løse bikadratiske ligninger av fjerde grad

De tosidige ligningene $ ax ^ 4 + bx ^ 2 + c \u003d 0 $ reduseres til kvadratet ved å erstatte variabelen $ x ^ 2 $ med en ny, for eksempel $ y $. Etter erstatningen løses den nye oppnådde ligningen, og deretter erstattes verdien av den funnet variabelen i ligningen $ x ^ 2 \u003d y $. Løsningen vil være røttene til ligningen $ x ^ 2 \u003d y $.

Eksempel 1

Løs ligningen $ x (x-1) (x-2) (x-3) \u003d 24 $:

La oss utvide parentesene i polynomet:

$ (x ^ 2-3x) (x ^ 2-3x + 2) \u003d 24 $

I denne formen blir det åpenbart at uttrykket $ y \u003d x ^ 2-3x $ kan velges som en ny variabel, erstatt det:

$ y \\ cdot (y + 2) \u003d 24 $

La oss nå løse to kvadratiske ligninger $ x ^ 2-3x \u003d -4 $ og $ x ^ 2-3x \u003d -6 $.

Røttene til den første ligningen er $ x_1 (1,2) \u003d 4; -1 $, den andre har ingen løsninger.

Løsning av tilbakevendende ligninger av grad 4

Disse ligningene av formen $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a \u003d 0 $ gjentar koeffisientene ved polynomer med høyere krefter med lavere koeffisienter. For å løse en slik ligning, del den først med $ x ^ 2 $:

$ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a \u003d 0 |: x ^ 2 $

$ ax ^ 2 + bx + c + \\ frac (b) (x) + \\ frac (a) (x ^ 2) \u003d 0 $

$ a (x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2)) + b (x + \\ frac (1) (x)) + c \u003d 0 $

Bytt deretter ut $ (x + \\ frac (1) (x)) $ med en ny variabel, deretter $ (x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2)) \u003d y ^ 2-2 $, etter erstatning vi få følgende kvadrat ligningen:

$ a (y ^ 2-2) + av + c \u003d 0 $

Etter det ser vi etter røttene til ligningene $ x + \\ frac (1) (x) \u003d y_1 $ og $ x + \\ frac (1) (x) \u003d y_2 $.

En lignende metode brukes til å løse tilbakevendende ligninger av formen $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + kbx + k ^ 2a \u003d 0 $.

Eksempel 2

Løs ligningen:

$ 3x ^ 4-2x ^ 3-9x ^ 2-4x + 12 \u003d 0 $

Denne ligningen er en returligning av formen $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + kbx + k ^ 2a \u003d 0 $. Derfor deler vi hele ligningen med $ x ^ 2 $:

$ 3x ^ 2-2x-9 \\ cdot \\ frac (2 \\ cdot 2) (x) +3 \\ cdot (\\ frac (2) (x)) ^ 2 \u003d 0 $

$ 3 (x ^ 2 + \\ frac (4) (x ^ 2)) - 2 (x + \\ frac (2) (x) -9 \u003d 0 $

La oss erstatte uttrykket $ x + \\ frac (2) (x) $: $ 3 (y ^ 2-4) -2y-9 \u003d 0 $

La oss beregne røttene til denne ligningen, de er lik $ y_1 \u003d 3 $ og $ y_2 \u003d - \\ frac (7) (3) $.

Følgelig er det nå nødvendig å løse to ligninger $ x + \\ frac (2) (x) \u003d 3 $ og $ x + \\ frac (2) (x) \u003d - \\ frac (7) (3) $. Løsningen på den første ligningen er $ x_1 \u003d 1, x_2 \u003d 2 $, den andre ligningen har ingen røtter.

Derfor er røttene til den opprinnelige ligningen $ x_1 \u003d 1, x_2 \u003d 2 $.

Ligninger av formen $ ax ^ 4 + b \u003d 0 $

Røttene til en ligning av denne typen blir funnet ved hjelp av de forkortede multiplikasjonsformlene.

Rett etter at Cardano publiserte en metode for å løse kubiske ligninger, fant hans studenter og følgere måter å redusere den generelle ligningen i fjerde grad til en kubisk ligning. La oss presentere den enkleste metoden, på grunn av L. Ferrari.

Når du beskriver metoden, vil det være nødvendig å bruke følgende elementære lemma.

Lemma. For at et kvadratisk trinomial skal være kvadratet til et lineært binomium, er det nødvendig og tilstrekkelig at dets diskriminerende er lik null.

Bevis. Nødvendighet. La være . Deretter tilstrekkelig. La deretter

Ideen med den presenterte metoden er å representere venstre side av ligningen som forskjellen mellom to firkanter. Deretter kan den spaltes i to faktorer av andre grad, og løsningen av ligningen vil bli redusert til løsningen av to kvadratiske ligninger. For å oppnå målet representerer vi venstre side som:

Her er y et ekstra ukjent, som må velges slik at uttrykket i hakeparentes viser seg å være kvadratet til et lineært binomium. I kraft av lemmaet, for dette, er det nødvendig og tilstrekkelig at tilstanden

Denne tilstanden er en ligning av tredje grad med hensyn til y. Etter å ha utvidet parentesene blir den konvertert til skjemaet

La være en av røttene til denne ligningen. Da vil betingelsen være tilfredsstilt, slik at

for noen k og I. Den opprinnelige ligningen tar form

Ved å ligne hver av faktorene til , finner vi de fire røttene til den opprinnelige ligningen.

La oss gjøre en kommentar til. La være røttene til den første faktoren, og være røttene til den andre. Så når vi legger til disse likhetene, får vi det

Dermed har vi fått et uttrykk for roten til den ekstra kubiske ligningen når det gjelder røttene til den opprinnelige fjerdegradsligningen.

Eksempel. Løs ligningen. I henhold til metoden ovenfor transformerer vi venstre side:

La oss si det. Etter formasjonene får vi ligningen

Det er lett å se at en av røttene til denne ligningen er et tall. Ved å erstatte den i den transformerte venstre siden av den opprinnelige ligningen får vi:

Å likestille faktorene til , får vi

Når det gjelder ligninger høyere enn fjerde grad, var det kjent noen klasser av ligninger av en relativt spesiell form som tillater algebraiske løsninger i radikaler, det vil si i form av resultatene av aritmetiske operasjoner og virkningen av å trekke ut en rot. Forsøk på å gi en løsning på generelle ligninger av femte grad og høyere var imidlertid mislykket, helt til begynnelsen av 1800-tallet. Ruffini og Abel beviste ikke at en løsning av denne typen for generelle ligninger over fjerde grad er umulig. Til slutt, i 1830, lyktes den strålende franske matematikeren E. Galois å finne nødvendige og tilstrekkelige forhold (ganske vanskelige å verifisere) for løsbarheten i radikaler av en gitt ligning. Samtidig opprettet og brukte Galois teorien om permutasjonsgrupper, ny for sin tid.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 \u003d 0

Først må du finne en rot ved valgmetoden. Det er vanligvis en skiller av det frie begrepet. I dette tilfellet deler vi nummeret 12 er ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. La oss begynne å erstatte dem etter tur:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 \u003d -12 ⇒ tall 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 \u003d 18 ⇒ tall -1 er ikke roten til et polynom

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 \u003d 0 ⇒ antall 2 er roten til polynomet

Vi fant en av røttene til polynomet. Roten til polynomet er 2, som betyr at det opprinnelige polynomet må kunne deles av x - 2... For å utføre delingen av polynomer bruker vi Horners skjema:

Den øverste linjen inneholder koeffisientene til det opprinnelige polynomet. Roten vi finner er plassert i den første cellen i den andre linjen 2. Den andre linjen inneholder koeffisientene til polynomet, som vil være resultatet av divisjon. De blir vurdert som følger:

Det siste tallet er resten av divisjonen. Hvis det er lik 0, har vi beregnet alt riktig.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 \u003d (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Men det er ikke over ennå. Du kan prøve å utvide polynomet på samme måte 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Igjen ser vi etter roten blant delerne av den frie begrepet. Delere av nummeret -6 er ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 \u003d 12 ⇒ tall 1 er ikke roten til et polynom

-1: -2 + 9 - 7 - 6 \u003d -6 ⇒ tall -1 er ikke roten til et polynom

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 \u003d 60 ⇒ tall 2 er ikke roten til et polynom

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 \u003d 0 ⇒ tall -2 er roten til polynomet

La oss skrive den funnet roten i Horner-ordningen og begynne å fylle ut tomme celler:

Dermed har vi faktorisert det opprinnelige polynomet:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 \u003d (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)

Polynom 2x 2 + 5x - 3 kan også faktoriseres. For å gjøre dette kan du løse den kvadratiske ligningen gjennom den diskriminerende, eller du kan søke etter roten mellom delene av tallet -3. På en eller annen måte vil vi komme til den konklusjonen at roten til dette polynomet er tallet -3

Dermed har vi spaltet det opprinnelige polynomet til lineære faktorer.

2. Ligning Hvis et brev er inkludert i likheten, kalles likheten en ligning.
Ligningen kan være sant for noen verdier i denne bokstaven
og feil for andre verdier.

For eksempel er ligningen x + 6 \u003d 7
sant for x \u003d 1
og er falsk for x \u003d 2.

3. Tilsvarende ligninger Den lineære ligningen er ax + med + c \u003d 0.
For eksempel: 5x - 4y + 6 \u003d 0.
La oss uttrykke y:
⇒ 4y \u003d 5x + 6 ⇒ y \u003d

⇒ y \u003d 1,25x + 1,5.
Den resulterende ligningen, som tilsvarer den første, har formen
y \u003d kx + m,
hvor: x er en uavhengig variabel (argument);
y - avhengig variabel (funksjon);
k og m er koeffisienter (parametere).

4 Tilsvarende ligninger

De to ligningene kalles tilsvarer (tilsvarende) hvis settene med alle løsningene deres faller sammen, eller begge deler ikke har noen løsninger og betegner.

5/Ligning av første grad.

Ligningen til første grad kan reduseres til formen:

øks + b = 0,

hvor x - variabel, enog b - noen tall, dessuten en ≠ 0.

Herfra er det lett å utlede verdien x:

b
x \u003d - -
en

Denne verdien x er roten til ligningen.

Første grads ligninger har en rot.

Ligning av andre grad.

Ligningen til andre grad kan reduseres til formen:

øks 2 + bx + c \u003d 0,

hvor x - variabel, a, b, c - noen tall, dessuten en ≠ 0.

Antall røtter til ligningen i andre grad avhenger av den diskriminerende:

Hvis D\u003e 0, har ligningen to røtter;

Hvis D \u003d 0, har ligningen en rot;

Hvis D< 0, то уравнение корней не имеет.

En ligning av andre grad kan maksimalt ha to røtter.

(om hva diskriminanten er og hvordan man finner røttene til ligningen, se avsnittene "Formler for røttene til en kvadratisk ligning. Diskriminant" og "En annen måte å løse en kvadratisk ligning").

Ligning av tredje grad.

Ligningen til tredje grad kan reduseres til formen:

øks 3 + bx 2 + cx + d = 0,

hvor x - variabel, a, b, c, d - noen tall, dessuten en ≠ 0.

En ligning av tredje grad kan maksimalt ha tre røtter.

Ligning av fjerde grad.

Ligningen til fjerde grad kan reduseres til formen:

øks 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

hvor x - variabel, a, b, c, d, e - noen tall, dessuten en ≠ 0.

En ligning av tredje grad kan maksimalt ha fire røtter.

Generalisering:

1) ligningen til den femte, sjette osv. grader kan enkelt utledes av deg selv, i henhold til ordningen ovenfor;

2) ligningen n-th grad kan ikke ha mer enn n røtter.

6 / En ligning med en variabel er en likhet som bare inneholder en variabel. Roten (eller løsningen) til en ligning er verdien av en variabel der ligningen blir til en ekte numerisk likhet.

1. 8/-11/Systemer med lineære ligninger: grunnleggende begreper System med lineære ligninger.

Inkonsekvente og ubestemte systemer for lineære ligninger. Sett med lineære ligninger Felles og inkonsekvent sett med lineære ligninger.

System med lineære ligninger er en forening av n lineære ligninger, som hver inneholder k variabler. Det er skrevet slik:

Mange mennesker, som først møter høyere algebra, tror feilaktig at antall ligninger nødvendigvis må sammenfalle med antall variabler. I skolealgebra skjer dette vanligvis, men for høyere algebra er dette, generelt sett, ikke sant.

Løse et ligningssystem er en sekvens av tall ( k 1 , k 2 , ..., k n), som er en løsning på hver ligning i systemet, dvs. når den erstattes med denne ligningen i stedet for variabler x 1 , x 2 , ..., x n gir riktig numerisk likhet.

Følgelig betyr å løse et ligningssystem å finne settet med alle løsningene eller bevise at dette settet er tomt. Siden antall ligninger og antall ukjente kanskje ikke sammenfaller, er tre tilfeller mulig:

1. Systemet er inkompatibelt, dvs. settet med alle løsninger er tomt. Et ganske sjeldent tilfelle som lett oppdages uavhengig av metoden som brukes til å løse systemet.

2. Systemet er konsistent og definert; har akkurat en løsning. Den klassiske versjonen, kjent siden skolen.

3. Systemet er konsistent og udefinert; har uendelig mange løsninger. Dette er det tøffeste alternativet. Det er ikke nok å påpeke at "systemet har et uendelig sett med løsninger" - det er nødvendig å beskrive hvordan dette settet er ordnet.

Variabel x i kalt tillatt, hvis den er inkludert i bare en ligning av systemet, og med en koeffisient 1. Med andre ord, i de resterende ligningene, er koeffisienten til variabelen x iskal være null.

Hvis vi i hver ligning velger en tillatt variabel, får vi et sett med tillatte variabler for hele ligningssystemet. Selve systemet, skrevet i denne formen, vil også bli kalt tillatt. Generelt sett kan ett og samme innledende system reduseres til forskjellige tillatte, men nå bryr vi oss ikke. Her er eksempler på tillatte systemer:

Begge systemene er tillatt med hensyn til variabler x 1 , x 3 og x fire. Men med samme suksess kan det hevdes at det andre systemet er tillatt relativt x 1 , x 3 og x fem . Det er tilstrekkelig å omskrive den aller siste ligningen i formen x 5 = x 4 .

La oss nå vurdere en mer generell sak. La alt vi har k variabler, hvorav r er tillatt. Da er to tilfeller mulig:

1. Antall tillatte variabler r er lik det totale antallet variabler k: r = k... Vi får systemet fra k ligninger der r = ktillatte variabler. Et slikt system er felles og bestemt, siden x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Antall tillatte variabler r mindre enn det totale antallet variabler k: r < k... Andre ( k − r) variabler kalles gratis - de kan ta alle verdier som tillatte variabler enkelt beregnes fra.

Så i de ovennevnte systemene, variablene x 2 , x 5 , x 6 (for det første systemet) og x 2 , x 5 (for det andre) er gratis. Tilfellet når det er frie variabler formuleres best som en teorem:

Merk: dette er et veldig viktig poeng! Avhengig av hvordan du skriver det resulterende systemet, kan den samme variabelen være både tillatt og gratis. De fleste høyere matematikklærere anbefaler å skrive ut variablene i leksikografisk rekkefølge, dvs. stigende indeks. Du trenger imidlertid ikke å følge dette rådet i det hele tatt.

Setning. Hvis systemet fra n ligningsvariabler x 1 , x 2 , ..., x r - tillatt, og x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - gratis, deretter:

1. Hvis du setter verdier til ledige variabler ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k) og finn deretter verdiene x 1 , x 2 , ..., x r, får vi en av løsningene.

2. Hvis verdiene til de frie variablene faller sammen i to løsninger, faller også verdiene til de tillatte variablene sammen, det vil si løsningene er like.

Hva er meningen med denne teoremet? For å oppnå alle løsninger av det oppløste ligningssystemet, er det tilstrekkelig å velge gratis variabler. Deretter, ved å tildele forskjellige verdier til gratis variabler, får vi ferdige løsninger. Det er alt - på denne måten kan du få alle løsningene i systemet. Det er ingen andre løsninger.

Konklusjon: Det løste ligningssystemet er alltid konsistent. Hvis antall ligninger i det oppløste systemet er lik antall variabler, vil systemet være bestemt; hvis mindre, vil det være ubestemt.

Flere ligninger dannes Sett med ligninger

2.12.13 / Lineær ulikhet. / Strenge og ikke-strenge ulikheter Hva er ulikhet? Enhver ligning blir tatt, "\u003d" ("like") tegnet blir erstattet av et annet tegn ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) og en ulikhet oppnås.) Ligningen kan være hva som helst: lineær, kvadratisk, brøk, eksponentiell, trigonometrisk, logaritmisk, etc. etc. Følgelig får vi ulikhetene lineære, firkantede osv.

Hva trenger du å vite om ulikhetsikoner? Ulikheter med ikon mer (> ), eller mindre (< ) er kalt streng. Med ikoner mer eller lik (≥ ), mindre eller lik (≤ ) er kalt ikke streng.Ikon ikke lik (≠ ) står alene, men eksempler med et slikt ikon må også løses hele tiden. Og vi vil bestemme.)

Selve ikonet har liten effekt på beslutningsprosessen. Men på slutten av løsningen, når du velger det endelige svaret, vises betydningen av ikonet i full kraft! Det vi vil se nedenfor, med eksempler. Det er noen vitser der ...

Ulikheter, som likhet, er trofast og utro. Alt er enkelt her, ingen triks. La oss si 5 > 2 - riktig ulikhet. fem < 2 er feil.

Lineære, firkantede, brøkdelte, eksponensielle, trigonometriske og andre ulikheter løses på forskjellige måter. Hver art har sin egen måte, sin egen spesielle teknikk. Men! Alle disse spesielle teknikkene kan brukes bare til en eller annen standard ulikhet. De. ulikhet av noe slag må først å forberede å bruke metoden din.

3. 14,16/Grunnleggende egenskaper ved ulikheter /... Handlinger med to ulikheter.

1) Hvis

2) Eiendom av transitivitet. Hvis en

3) Hvis det samme tallet legges til begge sider av riktig ulikhet, får vi riktig ulikhet, dvs. hvis en

4) Hvis fra den ene delen av den riktige ulikheten for å overføre et hvilket som helst begrep til den andre, endrer tegnet til det motsatte, får vi riktig ulikhet, dvs. hvis en

5) Hvis begge sider av den sanne ulikheten multipliseres med det samme positive tallet, oppnås den sanne ulikheten. For eksempel hvis

6) Hvis begge sider av den sanne ulikheten multipliseres med samme negative tall og endre tegnet på ulikhet til det motsatte, får du riktig ulikhet. For eksempel hvis

7) På samme måte som regler 5) og 6) gjelder reglene for deling med samme antall. Hvis en