Rotasjonsbevegelse av et materialpunkt. Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme: ligning, formler. Grunnleggende konsepter for kinematikk med roterende bevegelse

DEFINISJON: Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp vi vil kalle en slik bevegelse der alle kroppspunkter beveger seg i sirkler, hvis senter ligger på samme rette linje, kalt rotasjonsaksen.

For å studere dynamikken til rotasjonen, tilsettes de kjente kinematiske størrelsene mer to mengder: øyeblikk av kraft (M) og treghetsmoment (J).

1. Det er kjent fra erfaring: akselerasjonen av rotasjonsbevegelse avhenger ikke bare av størrelsen på kraften som virker på kroppen, men også avstanden fra rotasjonsaksen til linjen langs hvilken kraften virker. For å karakterisere denne omstendigheten, kalles en fysisk størrelse øyeblikk av kraft.

La oss vurdere det enkleste tilfellet.

DEFINISJON: Kraftmomentet i forhold til et eller annet punkt "O" er en vektormengde bestemt av uttrykket, hvor er radiusvektoren tegnet fra punktet "O" til kraftens påføringspunkt.

Fra definisjonen følger det at det er en aksial vektor. Retningen er valgt slik at rotasjonen av vektoren rundt punktet "O" i retning av kraften og vektoren danner et høyrehendt system. Modulen til kraftmomentet er lik, hvor a er vinkelen mellom retningene til vektorene og, og l \u003d r synda er lengden på den vinkelrette som faller fra punktet "O" til den rette linjen langs hvilken kraften virker (kalt skulder av styrke relativt til punkt "O") (fig. 4.2).

2. Eksperimentelle data indikerer at størrelsen på vinkelakselerasjonen ikke bare påvirkes av massen til det roterende legemet, men også av massefordelingen i forhold til rotasjonsaksen. Verdien som tar hensyn til denne omstendigheten kalles treghetsmoment om rotasjonsaksen.

DEFINISJON: Strengt tatt, treghetsmoment av et legeme i forhold til en viss rotasjonsakse kalles verdien J, som er lik summen av produktene av elementære masser ved kvadratene av deres avstander fra denne aksen.

Sammendraget utføres over alle elementære masser som kroppen ble brutt i. Man bør huske på at denne størrelsen (J) eksisterer uavhengig av rotasjon (selv om konseptet med treghetsmoment ble introdusert når man vurderer rotasjonen av et stivt legeme).

Hver kropp, uansett om den er i ro eller roterer, har et visst treghetsmoment i forhold til hvilken som helst akse, akkurat som en kropp har masse uavhengig av om den beveger seg eller er i ro.

Tatt i betraktning at treghetsmomentet kan representeres som :. Dette forholdet er tilnærmet, og det vil være jo mer nøyaktig, desto mindre er elementærvolumene og de tilsvarende masseelementene. Følgelig er problemet med å finne øyeblikkene av treghet redusert til integrasjon :. Her utføres integrering over hele kroppens volum.

La oss skrive ned treghetsmomentene til noen legemer med vanlig geometrisk form.

Beregninger av treghetsmomentet er ganske enkle her, fordi kroppen antas å være homogen og symmetrisk, og treghetsmomentet bestemmes i forhold til symmetriaksen.

For å bestemme treghetsmomentet til et legeme rundt en hvilken som helst akse, er det nødvendig å bruke Steiners teorem.

DEFINISJON: Treghetsmoment J om en vilkårlig akse er lik summen av treghetsmomentet J med hensyn til aksen parallell med den gitte og passerer gjennom kroppens treghetssenter, og produktet av kroppsmassen ved kvadratet av avstanden mellom aksene (Fig. 4.10).

Styringsvinkel, vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

Rotasjon av et stivt legeme rundt en fast aksedens bevegelse kalles, der to punkter i kroppen forblir ubevegelig under hele bevegelsestiden. I dette tilfellet forblir alle kroppspunkter på en rett linje som går gjennom de faste punktene også urørlige. Denne linjen heter kroppens rotasjonsakse.

Hvis en OGog I- faste punkter på kroppen (fig. 15 ), da er rotasjonsaksen aksen Oz,som kan ha hvilken som helst retning i rommet, ikke nødvendigvis vertikalt. En akseretning Oztatt for positivt.

Tegn et fast plan gjennom rotasjonsaksen Av og mobil P,festet til et roterende legeme. La begge flyene falle sammen i det første øyeblikket. Så i øyeblikket t posisjonen til det bevegelige planet og selve det roterende legemet kan bestemmes av den tovinklede vinkelen mellom planene og den tilsvarende lineære vinkelen φ mellom rette linjer plassert i disse planene og vinkelrett på rotasjonsaksen. Vinkel φ kalt kroppens rotasjonsvinkel.

Kroppens posisjon i forhold til den valgte referanserammen bestemmes fullstendig i enhver

øyeblikk i tid, hvis ligningen er gitt φ = f (t) (5)

hvor f (t)hvilken som helst, to ganger differensierbar funksjon av tiden Denne ligningen kalles rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse.

Et legeme som roterer rundt en fast akse har en grad av frihet, siden posisjonen bestemmes ved å spesifisere bare en parameter - vinkelen φ .

Vinkel φ regnes som positiv hvis den legges mot klokken, og negativ - i motsatt retning, sett fra aksens positive retning Oz.Banene til kroppens punkter når den roterer rundt en fast akse er sirkler plassert i plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

For å karakterisere rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse, introduserer vi begrepene vinkelhastighet og vinkelakselerasjon. Algebraisk vinkelhastighet til en kroppnår som helst i tid, kalles den første gangs avledede av rotasjonsvinkelen i dette øyeblikket, dvs. dφ / dt \u003d φ. Det er positivt når kroppen roterer mot urviseren, siden rotasjonsvinkelen øker med tiden, og negativ når kroppen roterer med klokken, fordi rotasjonsvinkelen avtar.

Vinkelhastighetsmodulen er ω. Deretter ω= ׀dφ / dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensjonen på vinkelhastigheten er satt i samsvar med (6)

[ω] \u003d vinkel / tid \u003d rad / s \u003d s -1.

I ingeniørfag er vinkelhastighet hastigheten uttrykt i omdreininger per minutt. Om 1 minutt vil kroppen snu i en vinkel 2πп,hvis en p- antall omdreininger per minutt. Ved å dele denne vinkelen med antall sekunder på et minutt får vi: (7)

Algebraisk vinkelakselerasjon av et legemeførste gang avledet av algebraisk hastighet kalles, dvs. andre avledede av rotasjonsvinkelen d 2 φ / dt 2 \u003d ω... Vinkelakselerasjonsmodulen er angitt ε deretter ε=|φ| (8)

Dimensjonen til vinkelakselerasjonen er hentet fra (8):

[ε ] \u003d vinkelhastighet / tid \u003d rad / s 2 \u003d s -2

Hvis en φ’’>0 på φ’>0 , så øker den algebraiske vinkelhastigheten med tiden, og derfor roterer kroppen med en akselerert hastighet i det aktuelle øyeblikket i positiv retning (mot klokken). Når φ’’<0 og φ’<0 kroppen roterer raskt i negativ retning. Hvis en φ’’<0 på φ’>0 , så har vi en langsommere rotasjon i positiv retning. Når φ’’>0 og φ’<0 , dvs. langsommere rotasjon er i negativ retning. Vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen i figurene er avbildet av buepiler rundt rotasjonsaksen. Buepilen for vinkelhastigheten indikerer kroppens rotasjonsretning;

For akselerert rotasjon har buepiler for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon samme retninger for retardert rotasjon - deres retninger er motsatte.

Spesielle tilfeller av rotasjon av et stivt legeme

Rotasjon kalles uniform hvis ω \u003d const, φ \u003d φ't

Rotasjonen vil være jevnt variabel hvis ε \u003d konst. φ '\u003d φ' 0 + φ''t og

Generelt, hvis φ’’ ikke alltid,

Hastigheter og akselerasjoner av kroppspunkter

Rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse er kjent φ \u003d f (t)(fig. 16). Avstand spoeng Mi det bevegelige planet Plangs en sirkelbue (bane til et punkt), målt fra et punkt M o,plassert i et fast plan, uttrykt gjennom vinkelen φ avhengighet s \u003d hφhvor her radiusen til sirkelen som punktet beveger seg langs. Det er den korteste avstanden fra punktet Mtil rotasjonsaksen. Det kalles noen ganger radiusen til punktrotasjonen. Ved hvert punkt i kroppen forblir rotasjonsradien uendret når kroppen roterer rundt en fast akse.

Algebraisk punkthastighet Mbestemt av formelen v τ \u003d s ’\u003d hφPunkthastighetsmodul: v \u003d hω(9)

Hastighetene til kroppens punkter når de roterer rundt en fast akse er proporsjonale med deres korteste avstand til denne aksen.Sideforholdet er vinkelhastigheten. Hastighetene til punktene er rettet langs tangenten til banene og er derfor vinkelrett på rotasjonsradiene. Hastigheter på kroppspunkter plassert på et rett linjesegment OM,i henhold til (9) er distribuert i henhold til en lineær lov. De er innbyrdes parallelle, og endene er plassert på en rett linje som går gjennom rotasjonsaksen. Vi nedbryter akselerasjonen til et punkt i tangente og normale komponenter, dvs. a \u003d a τ + a nτ De tangentielle og normale akselerasjonene blir beregnet av formlene (10)

siden for en sirkel krumningsradien p \u003d h (fig. 17 ). Dermed,

Tangente, normale og totale akselerasjoner av punkter, så vel som hastigheter, fordeles også i henhold til en lineær lov. De avhenger lineært av punktenes avstand til rotasjonsaksen. Normal akselerasjon er rettet langs sirkelens radius til rotasjonsaksen. Retningen til den tangentielle akselerasjonen avhenger av tegnet på den algebraiske vinkelakselerasjonen. Når φ’>0 og φ’’>0 eller φ’<0 og φ’<0 vi har en akselerert rotasjon av kroppen og retningene til vektorene a τog vkamp. Hvis en φ’ og φ’" har forskjellige tegn (langsom rotasjon), da a τog vrettet motsatt til hverandre.

Ved å utpeke α vinkelen mellom den totale akselerasjonen til et punkt og dens rotasjonsradius, har vi

tgα \u003d | a τ | / a n \u003d ε / ω 2 (11)

siden normal akselerasjon en nalltid positiv. Vinkel ogfor alle punkter i kroppen er den samme. Det bør utsettes fra akselerasjon til rotasjonsradius i retning av buepilen for vinkelakselerasjon, uavhengig av rotasjonsretningen til det stive legemet.

Vektorer av vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

La oss introdusere begrepene vektorer med vinkelhastighet og vinkelakselerasjon av en kropp. Hvis en TILer enhetsvektoren til rotasjonsaksen rettet mot den positive siden, deretter vinkelhastighetsvektorene ώ og vinkelakselerasjon ε bestemmes av uttrykk (12)

Fordi ker en vektorkonstant i størrelse og retning, så følger det av (12) at

ε \u003d dώ / dt(13)

Når φ’>0 og φ’’>0 retningsvektorer ώ og ε kamp. De er begge rettet mot den positive siden av rotasjonsaksen. Oz(Fig. 18.a) Hvis φ’>0 og φ’’<0 , så blir de rettet i motsatt retning (fig. 18.b ). Vektoren av vinkelakselerasjon sammenfaller i retning med vektoren for vinkelhastighet under akselerert rotasjon og motsatt av den under retardert rotasjon. Vektorer ώ og ε kan tegnes når som helst på rotasjonsaksen. De er skyvevektorer. Denne egenskapen følger av vektorformlene for hastighetene og akselerasjonene til kroppens punkter.

Komplekse punktbevegelser

Enkle konsepter

For å studere noen av de mer komplekse typene stive kroppsbevegelser, anbefales det å vurdere den enkleste komplekse bevegelsen til et punkt. I mange problemer må bevegelsen til et punkt vurderes i forhold til to (eller flere) referanserammer som beveger seg i forhold til hverandre. Dermed må bevegelsen til et romfartøy som beveger seg mot månen, betraktes samtidig både i forhold til jorden og i forhold til månen, som beveger seg i forhold til jorden. Enhver bevegelse av et punkt kan betraktes som kompleks, bestående av flere bevegelser. For eksempel kan bevegelse av et skip langs en elv i forhold til jorden betraktes som kompleks, bestående av bevegelse langs vannet og sammen med det rennende vannet.

I det enkleste tilfellet består den komplekse bevegelsen til et punkt av relative og figurative bevegelser. La oss definere disse bevegelsene. La oss ha to referanserammer som beveger seg i forhold til hverandre. Hvis ett av disse systemene O l x 1 y 1 z 1(fig. 19 ) tatt for grunnleggende eller stasjonær (dens bevegelse i forhold til andre referanserammer blir ikke vurdert), deretter den andre referanserammen Oxyzvil bevege seg relativt til den første. Bevegelse av et punkt i forhold til en bevegelig referanseramme Oxyzkalt slektning.Egenskapene til denne bevegelsen, som bane, hastighet og akselerasjon, kalles slektning.De er betegnet med indeksen r; for fart og akselerasjon v r, a r. Bevegelsen til et punkt i forhold til hoved- eller stasjonær referansesystem O 1 x 1 y 1 z 1kalt absolutt(eller kompleks ). Det kalles også noen ganger sammensattebevegelse. Banen, hastigheten og akselerasjonen til denne bevegelsen kalles absolutt. Hastigheten og akselerasjonen av absolutt bevegelse er angitt med bokstaver v, aingen indekser.

Den overførbare bevegelsen til et punkt kalles bevegelsen den utfører sammen med en bevegelig referanseramme, som et punkt som er stivt festet til dette systemet på et gitt tidspunkt. På grunn av den relative bevegelsen sammenfaller bevegelsespunktet til forskjellige tider med forskjellige punkter i kroppen S,som den bevegelige referanserammen er festet med. Den bærbare hastigheten og den bærbare akselerasjonen er hastigheten og akselerasjonen til det punktet i kroppen. S,som flyttepunktet for tiden sammenfaller med. Bærbar hastighet og akselerasjon betyr v e, og e.

Hvis banene til alle punkter i kroppen S,festet til den bevegelige referanserammen, avbildet i figuren (fig. 20), så får vi en familie av linjer - en familie av baner av et punktes translasjonsbevegelse M.På grunn av den relative bevegelsen av punktet Mi hvert øyeblikk er det på en av banene til den bærbare bevegelsen. Punktum Mkan falle sammen med bare ett punkt i hvert av banene i denne familien av overføringsbaner. I denne forbindelse antas det noen ganger at det ikke er noen baner for den overførbare bevegelsen, siden det er nødvendig å vurdere banene for den overførbare bevegelsen av linjene, der bare ett punkt faktisk er et punkt i banen.

I kinematikken til et punkt ble bevegelsen til et punkt i forhold til en hvilken som helst referanseramme studert, uavhengig av om denne referanserammen beveger seg i forhold til andre rammer eller ikke. La oss supplere denne studien ved å vurdere en kompleks bevegelse, i det enkleste tilfellet, bestående av relativ og figurativ. En og samme absolutt bevegelse, som velger forskjellige bevegelige referanserammer, kan anses å bestå av forskjellige figurative og følgelig relative bevegelser.

Hastighetstilsetning

La oss bestemme hastigheten til den absolutte bevegelsen til et punkt hvis hastighetene til de relative og figurative bevegelsene til dette punktet er kjent. La punktet bare utføre en, relativ bevegelse i forhold til den bevegelige referanserammen Oxyz og på tidspunktet t tar stilling M på banen for relativ bevegelse (fig. 20). I øyeblikket t + t, på grunn av den relative bevegelsen, vil punktet være i posisjon М 1, etter å ha gjort bevegelsen til ММ 1 langs banen til den relative bevegelsen. Anta at poeng er involvert Oxyzog relativ bane vil den bevege seg langs en kurve på MM 2.Hvis et punkt deltar samtidig i både relative og overførbare bevegelser, så i tid A; hun vil flytte til MM "langs banen til absolutt bevegelse og i øyeblikket t + klta stilling M ".Hvis tiden Påer liten og deretter passere til det ytterste kl På,tendens til , så små forskyvninger langs kurver kan erstattes av segmenter av akkorder og tas som vektorer for forskyvninger. Å legge til vektordrivninger får vi

I denne forbindelse blir små mengder av høyere orden kastet, som har en tendens til null ved På,tendens til null. Vi har gått over til det ytterste (14)

Derfor tar (14) skjemaet (15)

Den såkalte hastighetsaddisjonssatsen oppnås: hastigheten til den absolutte bevegelsen til et punkt er lik vektorsummen av hastighetene til de figurative og relative bevegelsene til dette punktet.Siden, generelt sett, ikke hastighetene til de bærbare og relative bevegelsene ikke er vinkelrette, da (15 ')

Lignende informasjon.

Denne artikkelen beskriver en viktig del av fysikken - "Kinematics and dynamics of rotational motion".

Grunnleggende konsepter for kinematikk med roterende bevegelse

Rotasjonsbevegelsen til et materialpunkt rundt en fast akse kalles en slik bevegelse, hvis bane er en sirkel plassert i et plan vinkelrett på aksen, og dens sentrum ligger på rotasjonsaksen.

Rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme er en bevegelse der alle kroppens punkter beveger seg langs konsentriske (sentrene som ligger på samme akse) sirkler i samsvar med regelen for rotasjonsbevegelse av et materialpunkt.

La et vilkårlig stivt legeme T rotere rundt O-aksen, som er vinkelrett på tegningen. Vi velger punkt M på denne kroppen. Når du roterer, vil dette punktet beskrive en sirkel rundt O-aksen med en radius r.

Etter en stund vil radiusen rotere i forhold til utgangsposisjonen med en vinkel Δφ.

Retningen til høyre skrue (med klokken) blir tatt som den positive rotasjonsretningen. Endringen i rotasjonsvinkelen over tid kalles ligningen for en stiv kropps rotasjonsbevegelse:

φ \u003d φ (t).

Hvis φ måles i radianer (1 rad er vinkelen som tilsvarer en lysbue med en lengde lik radien), er lengden på den sirkelbuen AS, som materialpunktet M vil passere i løpet av tiden AT, lik:

ΔS \u003d Δφr.

Hovedelementene i kinematikken til jevn rotasjonsbevegelse

Et mål på bevegelsen av et materielt punkt på kort tid dt fungerer som en elementær rotasjonsvektor dφ.

Vinkelhastigheten til et materialpunkt eller legeme er en fysisk størrelse som bestemmes av forholdet mellom vektoren til en elementær sving og varigheten av denne svingen. Retningen til vektoren kan bestemmes av regelen om høyre skrue langs aksen O. I skalar form:

ω \u003d dφ / dt.

Hvis en ω \u003d dφ / dt \u003d konst,da kalles denne bevegelsen ensartet rotasjonsbevegelse. Med den bestemmes vinkelhastigheten av formelen

ω \u003d φ / t.

I henhold til den foreløpige formelen, dimensjonen til vinkelhastigheten

[ω] \u003d 1 rad / s.

Ensartet rotasjonsbevegelse av et legeme kan beskrives av en rotasjonsperiode. Rotasjonsperioden T er en fysisk størrelse som bestemmer tiden kroppen rundt rotasjonsaksen gjør en fullstendig omdreining ([T] \u003d 1 s). Hvis vi i formelen for vinkelhastigheten tar t \u003d T, φ \u003d 2 π (en full omdreining av radius r), så

ω \u003d 2π / T,

derfor er rotasjonsperioden definert som følger:

T \u003d 2π / ω.

Antall omdreininger som kroppen gjør per tidsenhet kalles rotasjonsfrekvensen ν, som er lik:

ν \u003d 1 / T.

Frekvensenheter: [v] \u003d 1 / c \u003d 1 s -1 \u003d 1 Hz.

Sammenligning av formlene for vinkelhastighet og rotasjonsfrekvens, får vi et uttrykk som knytter disse størrelsene:

ω \u003d 2πν.

Hovedelementene i kinematikken til ujevn rotasjonsbevegelse

Den ujevne rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme eller materialpunkt rundt en fast akse er preget av vinkelhastigheten, som endres med tiden.

Vector ε , som karakteriserer endringshastigheten i vinkelhastigheten, kalles vinkelakselerasjonsvektoren:

ε \u003d dω / dt.

Hvis kroppen roterer, akselererer det altså dω / dt\u003e 0, har vektoren en retning langs aksen i samme retning som ω.

Hvis rotasjonsbevegelsen reduseres - dω / dt< 0 , så er vektorene ε og ω motsatt rettet.

Kommentar... Når en ujevn rotasjonsbevegelse oppstår, kan vektoren change endre seg ikke bare i størrelse, men også i retning (når rotasjonsaksen roteres).

Forholdet mellom mengdene som kjennetegner den translasjonelle og rotasjonsbevegelsen

Det er kjent at buelengden med radiusens rotasjonsvinkel og dens verdi er relatert av forholdet

ΔS \u003d Δφ r.

Deretter den lineære hastigheten til et materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

υ \u003d ΔS / Δt \u003d Δφr / Δt \u003d ωr.

Den normale akselerasjonen til et materialpunkt som utfører en rotasjons translasjonsbevegelse er definert som følger:

a \u003d υ 2 / r \u003d ω 2 r 2 / r.

Så, i skalarform

a \u003d ω 2 r.

Tangensielt akselerert materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

a \u003d ε r.

Moment av et materielt punkt

Vektorproduktet til radiusvektoren til banen til et materielt massepunkt m i sitt moment kalles vinkelmomentet til dette punktet i forhold til rotasjonsaksen. Retningen til vektoren kan bestemmes ved hjelp av riktig skrueregel.

Momentum av et materielt punkt ( L i) er rettet vinkelrett på planet tegnet gjennom r i og u i, og danner med dem en høyre trippel av vektorer (det vil si når du beveger deg fra enden av vektoren r itil υ i høyre skrue viser retningen på vektoren L Jeg).

I skalarform

L \u003d m i υ i r i sin (υ i, r i).

Tatt i betraktning at når vi beveger oss i en sirkel, er radiusvektoren og vektoren for lineær hastighet for det i-materialet punktet gjensidig vinkelrett,

sin (υ i, r i) \u003d 1.

Så vinkelmomentet til et materialpunkt for rotasjonsbevegelse vil ta form

L \u003d m i υ i r i.

Momentet av kraft som virker på det materielle punktet

Vektorproduktet til radiusvektoren, som er trukket til kraftens påføringspunkt, til denne kraften kalles kraftmomentet som virker på det i-th materialpunktet i forhold til rotasjonsaksen.

I skalarform

M i \u003d r i F i sin (r i, F i).

Vurderer r i sinα \u003d l i,M i \u003d l i F i.

Kvantiteten l i, lik lengden på den vinkelrette vinkelen fra rotasjonspunktet til kraftens virkningsretning, kalles kraftens skulder F i.

Rotasjonsdynamikk

Ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelse skrives som følger:

M \u003d dL / dt.

Lovenes formulering er som følger: endringshastigheten til vinkelmomentet til et legeme som roterer rundt en fast akse er lik det resulterende momentet i forhold til denne aksen av alle ytre krefter som påføres kroppen.

Impulsmoment og treghetsmoment

Det er kjent at for det i-th materialpunktet er vinkelmomentet i skalar form gitt av formelen

L i \u003d m i υ i r i.

Hvis vi i stedet for den lineære hastigheten erstatter dens uttrykk gjennom vinkelhastigheten:

υ i \u003d ωr i,

så tar uttrykket for vinkelmomentet form

L i \u003d m i r i 2 ω.

Kvantiteten I i \u003d m i r i 2kalles treghetsmomentet rundt aksen til det i-materielle punktet til et absolutt stivt legeme som går gjennom massesenteret. Så skriver vi vinkelmomentet til et materielt punkt:

L i \u003d I i ω.

Vi skriver momentumet til et absolutt stivt legeme som summen av momentene til de materielle punktene som utgjør den gitte kroppen:

L \u003d Iω.

Kraftmoment og treghetsmoment

Loven om rotasjonsbevegelse sier:

M \u003d dL / dt.

Det er kjent at kroppens vinkelmoment kan representeres i form av treghetsmomentet:

L \u003d Iω.

M \u003d Idω / dt.

Tatt i betraktning at vinkelakselerasjonen bestemmes av uttrykket

ε \u003d dω / dt,

vi får formelen for kraftmomentet, representert i form av treghetsmomentet:

M \u003d Iε.

Kommentar. Et kraftmoment betraktes som positivt hvis vinkelakselerasjonen som den forårsakes er større enn , og omvendt.

Steiners teorem. Loven om tillegg av treghetsmomenter

Hvis kroppens rotasjonsakse ikke passerer gjennom massesenteret, kan man i forhold til denne aksen finne treghetsmomentet ved Steiners teorem:
I \u003d I 0 + ma 2,

hvor Jeg 0 - kroppens første treghetsmoment; m - kroppsmasse; en - avstanden mellom aksene.

Hvis systemet som roterer rundt den faste aksen består av n organer, vil det totale treghetsmomentet til denne typen system være lik summen av øyeblikkene som utgjør det (loven om tillegg av treghetsmomentene).

Stiv kroppskinematikk

I motsetning til kinematikken til et punkt i kinematikken til stive kropper, er to hovedoppgaver løst:

Sette bevegelsen og bestemme de kinematiske egenskapene til kroppen som helhet;

Bestemmelse av kinematiske egenskaper til kroppspunkter.

Metoder for å sette og bestemme de kinematiske egenskapene avhenger av kroppens bevegelsestype.

I denne håndboken vurderes tre typer bevegelse: translasjonell, rotasjon rundt en fast akse og plan-parallell bevegelse av en stiv kropp.

Translasjonsbevegelsen til en stiv kropp

Translasjon kalles en bevegelse der en rett linje trukket gjennom to punkter i kroppen forblir parallell med sin opprinnelige posisjon (figur 2.8).

Teoremet er bevist: med translasjonsbevegelse beveger alle kroppspunkter seg langs de samme banene og har hvert øyeblikk samme hastighet og akselerasjon i størrelse og retning (figur 2.8).

Produksjon: Translasjonsbevegelsen til et stivt legeme bestemmes av bevegelsen til et av punktene, og derfor blir oppgaven og studiet av bevegelsen redusert til kinematikken til punktet.

Fig. 2.8 Fig. 2.9

Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse.

Rotasjon rundt en fast akse kalles bevegelse av et stivt legeme, der to punkter som tilhører kroppen forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden.

Kroppens posisjon bestemmes av rotasjonsvinkelen (figur 2.9). Vinkelenheten er radianer. (En radian er midtvinkelen til en sirkel hvis buelengde er lik radiusen. Den totale vinkelen til en sirkel inneholder 2 radianer.)

Loven om rotasjonsbevegelse av et legeme rundt en fast akse \u003d (t). Kroppens vinkelhastighet og vinkelakselerasjon vil bli bestemt av differensieringsmetoden

Vinkelhastighet, rad / s; (2.10)

Vinkelakselerasjon, rad / s 2 (2.11)

Når et legeme roterer rundt en fast akse, beveger dets punkter som ikke ligger på rotasjonsaksen i sirkler sentrert på rotasjonsaksen.

Hvis du kutter kroppen med et plan vinkelrett på aksen, velger du punktet på rotasjonsaksen FRA og et vilkårlig poeng M,poenget Mvil beskrive rundt poenget FRA sirkelradius R(fig. 2.9). Under dt en elementær rotasjon gjennom en vinkel oppstår, mens punktet M vil bevege seg langs banen på avstand. La oss bestemme modulen til den lineære hastigheten:

Punktakselerasjon M for en kjent bane bestemmes av komponentene, se (2.8)

Ved å erstatte uttrykk (2.12) i formlene får vi:

hvor: - tangentiell akselerasjon,

Normal akselerasjon.

Fly - parallell bevegelse av en stiv kropp

Planparallell er bevegelsen til en stiv kropp, der alle dens punkter beveger seg i plan parallelt med ett fast plan (figur 2.10). For å studere bevegelsen til en kropp er det nok å studere bevegelsen til en seksjon S av dette legemet med et plan parallelt med det faste planet. Seksjonsbevegelse S i sitt plan kan betraktes som en kompleks, bestående av to elementære bevegelser: a) translasjonell og rotasjon; b) rotasjon i forhold til det bevegelige (øyeblikkelige) sentrum.

I det første alternativet seksjonens bevegelse kan spesifiseres ved bevegelsesligningene til et av dets punkter (pol) og rotasjonen av seksjonen rundt polen (figur 2.11). Ethvert punkt i seksjonen kan tas som en stang.

Fig. 2.10 Fig. 2.11

Bevegelsesligningene vil bli skrevet i form:

X A \u003d X OG (t)

Y OG \u003d Y OG (t) (2.14)

OG = OG (t)

Polens kinematiske egenskaper bestemmes ut fra ligningene til bevegelsen.

Hastigheten til et hvilket som helst punkt i en flat figur som beveger seg i planet blir oppsummert av polens hastighet (vilkårlig valgt i delen av punktet OG) og hastigheten på rotasjonsbevegelsen rundt polen (rotasjon av punktet I rundt poenget OG).

Akselerasjonen til et punkt i en figur i bevegelse er summen av akselen til polen i forhold til den stasjonære referanserammen og akselerasjonen på grunn av rotasjonsbevegelsen rundt polen.

I det andre alternativet seksjonens bevegelse betraktes som roterende rundt det bevegelige (øyeblikkelige) sentrum P (Figur 1.12). I dette tilfellet vil hastigheten til et hvilket som helst punkt B i seksjonen bli bestemt av formelen for rotasjonsbevegelse

Vinkelhastighet rundt øyeblikkelig senter R kan bestemmes hvis hastigheten til et hvilket som helst punkt i seksjonen er kjent, for eksempel punkt A.

Figur 2.12

Plasseringen av det øyeblikkelige rotasjonssenteret kan bestemmes ut fra følgende egenskaper:

Punkthastighetsvektoren er vinkelrett på radiusen;

Punkthastighetsmodulen er proporsjonal med avstanden fra punktet til rotasjonssenteret ( V \u003d R) ;

Hastigheten i rotasjonssenteret er null.

La oss se på noen tilfeller for å bestemme posisjonen til det øyeblikkelige sentrum.

1. Retningene for hastighetene til to punkter i en flat figur er kjent (figur 2.13). La oss tegne linjer med radier. Det øyeblikkelige rotasjonssenteret P er i skjæringspunktet mellom de vinkelrette trukket mot hastighetsvektorene.

2. Hastighetene til punktene A og B er kjent, og vektorene er parallelle med hverandre, og linjen AB vinkelrett (fig. 2.14). I dette tilfellet ligger det øyeblikkelige rotasjonssenteret på linjen AB... For å finne det tegner vi en linje med proporsjonalitet av hastigheter basert på avhengighet V \u003d R.

3. Kroppen ruller uten å gli på den stasjonære overflaten til et annet legeme (Figur 2.15). Kontaktpunktet til legemene for øyeblikket har null hastighet, mens hastighetene til andre punkter i kroppen ikke er lik null. Tangenspunktet P vil være det øyeblikkelige rotasjonssenteret.

Fig. 2.13 Fig. 2.14 Fig. 2.15

I tillegg til alternativene som er vurdert, kan snittpunktets hastighet bestemmes på grunnlag av teoremet på projeksjonene av hastighetene til to punkter i en stiv kropp.

Teorem: fremspringene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på en rett linje trukket gjennom disse punktene er like hverandre og er like rettet.

Bevis: avstand AB kan ikke endre seg,

V Og cos kan ikke være mer eller mindre V In cos (figur 2.16).

Fig. 2.16

Konklusjon: V OG cos \u003d V I cos. (2.19)

Komplekse punktbevegelser

I de foregående avsnittene ble bevegelsen til et punkt i forhold til en stasjonær referanseramme vurdert, den såkalte absolutte bevegelsen. I praksis er det problemer der bevegelsen til et punkt i forhold til et koordinatsystem som beveger seg i forhold til et stasjonært system er kjent. I dette tilfellet er det nødvendig å bestemme de kinematiske egenskapene til et punkt i forhold til et stasjonært system.

Det er vanlig å kalle: bevegelsen til et punkt i forhold til det bevegelige systemet - slektning, bevegelsen av punktet sammen med det bevegelige systemet - bærbar, bevegelsen til et punkt i forhold til et stasjonært system er absolutt... Hastigheter og akselerasjoner kalles deretter:

Relativ; - bærbar; -absolutt.

I følge setningen om tillegg av hastigheter er den absolutte hastigheten til et punkt lik vektorsummen av de relative og bærbare hastighetene (fig.).

Den absolutte verdien av hastigheten bestemmes av kosinussetningen

Figur 2.17

Parallelogramakselerasjon bestemmes bare med translasjonsbevegelse

Med ikke-translasjonell bevegelse vises en tredje komponent av akselerasjon, kalt roterende eller Coriolis.

Coriolis akselerasjon er numerisk lik

hvor er vinkelen mellom vektorer og

Retningen til Coriolis akselerasjonsvektor bestemmes hensiktsmessig av N.E. Zhukovsky: projiser vektoren på et plan vinkelrett på translasjonsrotasjonsaksen, roter projeksjonen 90 grader i retning av translasjonsrotasjonen. Den resulterende retningen vil tilsvare retningen til Coriolis-akselerasjon.

Spørsmål for selvkontroll etter seksjon

1. Hva er hovedoppgavene til kinematikk? Hva er de kinematiske egenskapene?

2. Nevn måtene å spesifisere bevegelse av et punkt og bestemme de kinematiske egenskapene.

3. Gi definisjonen av translasjonell, rotasjon rundt en fast akse, plan-parallell bevegelse av kroppen.

4. Hvordan spesifiseres bevegelsen til et stivt legeme for translasjon, rotasjon rundt en fast akse og plan-parallell bevegelse av kroppen, og hvordan bestemmes hastigheten og akselerasjonen til et punkt under disse kroppsbevegelsene?

Rotasjonen av et stivt legeme rundt en fast akse er en slik bevegelse der to punkter i kroppen forblir ubevegelig under hele bevegelsestiden. I dette tilfellet forblir alle kroppspunkter på en rett linje som går gjennom de faste punktene også urørlige. Denne linjen heter kroppens rotasjonsakse .

La punkt A og B fikses. Rett aksen langs rotasjonsaksen. Gjennom rotasjonsaksen tegner vi et fast plan og et bevegelig, festet til et roterende legeme (ved).

Plassering av planet og selve kroppen bestemmes av den tovinklede vinkelen mellom flyene og. La oss utpeke det. Vinkelen kalles kroppsrotasjonsvinkel .

Kroppens posisjon i forhold til den valgte referanserammen bestemmes unikt når som helst når ligningen er gitt, hvor er en to ganger differensierbar funksjon av tiden. Denne ligningen kalles rotasjonsligningen til et stivt legeme rundt en fast akse .

Et legeme som roterer rundt en fast akse har en grad av frihet, siden posisjonen bestemmes ved å spesifisere bare en parameter - vinkelen.

En vinkel betraktes som positiv hvis den legges mot klokken, og negativ i motsatt retning. Banene til punkter i et legeme når det roterer rundt en fast akse er sirkler plassert i plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

For å karakterisere rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse, introduserer vi begrepene vinkelhastighet og vinkelakselerasjon.

Algebraisk vinkelhastighet kroppen når som helst i tiden kalles første gangs avledede av rotasjonsvinkelen i det øyeblikket, det vil si.

Vinkelhastigheten er en positiv verdi når kroppen roterer mot klokken, siden rotasjonsvinkelen øker med tiden, og negativ når kroppen roterer med urviseren, fordi rotasjonsvinkelen avtar.

Dimensjonen til vinkelhastigheten per definisjon:

I ingeniørfag er vinkelhastighet rotasjonshastigheten uttrykt i omdreininger per minutt. I løpet av ett minutt vil kroppen snu gjennom en vinkel, der n er antall omdreininger per minutt. Å dele denne vinkelen med antall sekunder på et minutt, får vi

Algebraisk vinkelakselerasjon av et legeme første gangs derivat av vinkelhastigheten kalles, det vil si det andre derivatet av rotasjonsvinkelen, dvs.

Dimensjon av vinkelakselerasjon per definisjon:

La oss introdusere begrepene vektorer med vinkelhastighet og vinkelakselerasjon av en kropp.

Og hvor er enhetsvektoren til rotasjonsaksen. Vektorer og kan tegnes på alle punkter i rotasjonsaksen, de er skyvevektorer.

Algebraisk vinkelhastighet er projeksjonen av vinkelhastighetsvektoren på rotasjonsaksen. Algebraisk vinkelakselerasjon er projeksjonen av vinkelhastighetsvektoren på rotasjonsaksen.

Hvis klokka øker algebraisk vinkelhastighet med tiden, og derfor roterer kroppen med en akselerert hastighet for øyeblikket i positiv retning. Retningen til vektorene og sammenfaller, begge er rettet mot den positive siden av rotasjonsaksen.

På og roterer kroppen med akselerasjon i negativ retning. Retningene til vektorene og sammenfaller, begge er rettet mot den negative siden av rotasjonsaksen.