Lineær funksjon. Detaljert teori med eksempler (2019). Lineær funksjonsundersøkelse Respekterer ditt privatliv på bedriftsnivå

Klasse: 7

Funksjonen opptar en av de ledende stedene i skolealgebrakurset og har mange anvendelser innen andre vitenskaper. I begynnelsen av studien, for å motivere og aktualisere problemet, informerer jeg deg om at ikke et eneste fenomen, ikke en eneste prosess i naturen kan studeres, ingen maskin kan konstrueres og deretter operere uten en fullstendig matematisk beskrivelse . Et verktøy for dette er en funksjon. Studiet begynner i 7. klasse som regel, barn fordyper seg ikke i definisjonen. Spesielt vanskelig tilgjengelige begreper er definisjonsdomene og meningsdomene. Ved å bruke kjente sammenhenger mellom mengder i problemer med bevegelse og verdi, oversetter jeg dem til språket til en funksjon, og opprettholder en sammenheng med dens definisjon. Dermed utvikler elevene funksjonsbegrepet på et bevisst nivå. På samme stadium jobbes det møysommelig med nye konsepter: definisjonsdomene, verdidomene, argument, verdi av en funksjon. Jeg bruker avansert læring: Jeg introduserer notasjonen D(y), E(y), introduserer begrepet null for en funksjon (analytisk og grafisk), når jeg løser oppgaver med områder med konstant fortegn. Jo tidligere og oftere elevene møter vanskelige begreper, jo bedre blir de klar over dem på nivå med langtidshukommelse. Når man studerer en lineær funksjon, er det tilrådelig å vise sammenhengen med løsningen av lineære ligninger og systemer, og senere med løsningen av lineære ulikheter og deres systemer. På forelesningen får studentene en stor blokk (modul) med ny informasjon, derfor blir materialet på slutten av forelesningen "vridd ut" og det lages et sammendrag som studentene må kjenne til. Praktiske ferdigheter utvikles i prosessen med å utføre øvelser ved hjelp av ulike metoder, som er basert på individuelt og selvstendig arbeid.

Den lineære funksjonen er svært ofte påtruffet i praksis. Lengden på stangen er en lineær funksjon av temperaturen. Lengden på skinner og broer er også en lineær funksjon av temperaturen. Avstanden tilbakelagt av en fotgjenger, et tog eller en bil med konstant hastighet er en lineær funksjon av reisetiden.

En lineær funksjon beskriver en rekke fysiske forhold og lover. La oss se på noen av dem.

1) l = l о (1+at) – lineær ekspansjon av faste stoffer.

2) v = v о (1+bt) – volumetrisk ekspansjon av faste stoffer.

3) p=p o (1+at) – avhengighet av resistiviteten til faste ledere av temperatur.

4) v = v o + ved – hastighet av jevnt akselerert bevegelse.

5) x= x o + vt – koordinat for jevn bevegelse.

Oppgave 1. Bestem den lineære funksjonen fra tabelldataene:

Løsning. y= kx+b, er problemet redusert til å løse et likningssystem: 1=k 1+b og 3=k 3 + b

Svar: y = 2x – 3.

Oppgave 2. Ved å bevege seg jevnt og rettlinjet passerte kroppen 14 m i løpet av de første 8 s, og 12 m i ytterligere 4 s. Lag en bevegelsesligning basert på disse dataene.

Løsning. I henhold til betingelsene for oppgaven har vi to ligninger: 14 = x o +8 v o og 26 = x o +12 v o, løser vi ligningssystemet, får vi v = 3, x o = -10.

Svar: x = -10 + 3t.

Oppgave 3. En bil forlot byen og beveget seg med en hastighet på 80 km/t. Etter 1,5 time kom en motorsykkel etter ham med en hastighet på 100 km/t. Hvor lang tid vil det ta motorsykkelen å ta igjen ham? I hvilken avstand fra byen vil dette skje?

Svar: 7,5 timer, 600 km.

Oppgave 4. Avstanden mellom to punkter i det første øyeblikket er 300m. Punktene beveger seg mot hverandre med hastigheter på 1,5 m/s og 3,5 m/s. Når skal de møtes? Hvor vil dette skje?

Svar: 60 s, 90 m.

Oppgave 5. En kobberlinjal ved 0 o C har en lengde på 1 m. Finn økningen i lengden når temperaturen øker med 35 o, med 1000 o C (smeltepunktet for kobber er 1083 o C)

Svar: 0,6 mm.

Mange fysikklover uttrykkes gjennom direkte proporsjonalitet. I de fleste tilfeller brukes en modell for å skrive disse lovene

i noen tilfeller -

La oss gi noen eksempler.

1. S = v t (v – const)

2. v = a t (a – const, a – akselerasjon).

3. F = kx (Hookes lov: F – kraft, k – stivhet (konst), x – forlengelse).

4. E= F/q (E er intensiteten ved et gitt punkt av det elektriske feltet, E er const, F er kraften som virker på ladningen, q er størrelsen på ladningen).

Som en matematisk modell av direkte proporsjonalitet kan du bruke likheten til trekanter eller proporsjonaliteten til segmenter (Thales’ teorem).

Oppgave 1. Toget passerte lyskrysset på 5 s, og passerte perrongen 150 m lang på 15 s. Hva er lengden på toget og hastigheten?

Løsning. La x være lengden på toget, x+150 være den totale lengden på toget og plattformen. I denne oppgaven er hastigheten konstant, og tiden er proporsjonal med lengden.

Vi har proporsjonen: (x+150) :15 = x: 5.

Hvor x = 75, v = 15.

Svar. 75 m, 15 m/s.

Oppgave 2. Båten reiste 90 km nedstrøms på en tid. På samme tid ville han ha gått 70 km mot strømmen. Hvor langt vil flåten reise i løpet av denne tiden?

Svar. 10 km.

Oppgave 3. Hva var starttemperaturen til luften hvis volumet økte med 1 % av det opprinnelige volumet ved oppvarming med 3 grader.

Svar. 300 K (Kelvin) eller 27 0 C.

Forelesning over temaet "Lineær funksjon".

Algebra, 7. klasse

1. Tenk på eksempler på problemer som bruker kjente formler:

S = v t (baneformel), (1)

C = ck (verdiformel). (2)

Oppgave 1. Bilen kjørte 20 km fra punkt A og fortsatte ferden med en hastighet på 62 km/t. I hvilken avstand fra punkt A vil bilen være etter t timer? Lag et uttrykk for oppgaven som angir avstanden S, finn den ved t = 1 time, 2,5 timer, 4 timer.

1) Ved hjelp av formel (1) finner vi veien en bil har kjørt med en hastighet på 62 km/t på tiden t, S 1 = 62t;
2) Så fra punkt A etter t timer vil bilen være i en avstand S = S 1 + 20 eller S = 62t + 20, la oss finne verdien av S:

ved t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
ved t = 2,5, S = 62*2,5 + 20, S = 175;
ved t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Vi legger merke til at når man finner S, endres kun verdien av t og S, dvs. t og S er variabler, og S er avhengig av t, hver verdi av t tilsvarer en enkelt verdi av S. Ved å betegne variabelen S med Y, og t med x, får vi en formel for å løse dette problemet:

Y= 62x + 20. (3)

Oppgave 2. I en butikk kjøpte vi en lærebok for 150 rubler og 15 notatbøker på n rubler hver. Hvor mye betalte du for kjøpet? Lag et uttrykk for problemet, angir kostnaden C, finn det for n = 5,8,16.

1) Ved å bruke formel (2) finner vi kostnadene for notatbøker C 1 = 15n;
2) Da er kostnaden for hele kjøpet C = C 1 +150 eller C = 15n+150, la oss finne verdien av C:

med n = 5, C = 155 + 150, C = 225;
med n = 8, C = 158 + 150, C = 270;
med n = 16, C = 1516+ 150, C = 390.

Tilsvarende legger vi merke til at C og n er variabler, for hver verdi av n tilsvarer en enkelt verdi av C. Ved å angi variabelen C som Y, og n som x, får vi en formel for å løse oppgave 2:

Y= 15x + 150. (4)

Ved å sammenligne formlene (3) og (4) er vi overbevist om at variabelen Y finnes gjennom variabelen x ved bruk av samme algoritme. Vi vurderte bare to forskjellige problemer som beskriver fenomenene som omgir oss hver dag. Faktisk er det mange prosesser som endres i henhold til de oppnådde lovene, så en slik avhengighet mellom variabler fortjener studier.

Løsninger på problemer viser at verdiene til variabelen x er valgt vilkårlig, og tilfredsstiller betingelsene for problemene (positiv i oppgave 1 og naturlig i oppgave 2), dvs. x er en uavhengig variabel (det kalles et argument), og Y er en avhengig variabel og det er en en-til-en korrespondanse mellom dem, og per definisjon er en slik avhengighet en funksjon. Derfor, ved å angi koeffisienten til x med bokstaven k, og frileddet med bokstaven b, får vi formelen

Y= kx + b.

Definisjon: Skjemaets funksjon y= kx + b, hvor k, b er noen tall, x er et argument, y er verdien av funksjonen, kalt en lineær funksjon.

For å studere egenskapene til en lineær funksjon introduserer vi definisjoner.

Definisjon 1. Settet med tillatte verdier for en uavhengig variabel kalles funksjonens definisjonsdomene (tillatt - dette betyr de numeriske verdiene av x som beregninger y utføres for) og er betegnet D(y).

Definisjon 2. Settet med verdier til den avhengige variabelen kalles domenet til funksjonen (disse er de numeriske verdiene som y tar) og er betegnet E(y).

Definisjon 3. Grafen til en funksjon er settet med punkter på koordinatplanet hvis koordinater gjør formelen til en sann likhet.

Definisjon 4. Koeffisienten k til x kalles helningen.

La oss vurdere egenskapene til en lineær funksjon.

1. D(y) – alle tall (multiplikasjon er definert på settet av alle tall).
2. E(y) – alle tall.
3. Hvis y = 0, så kalles x = -b/k, punkt (-b/k;0) – skjæringspunktet med Ox-aksen, funksjonens null.
4. Hvis x = 0, så er y = b, punkt (0; b) er skjæringspunktet med Oy-aksen.
5. La oss finne ut hvilken linje den lineære funksjonen på koordinatplanet vil sette opp punktene, dvs. som er grafen til funksjonen. For å gjøre dette, vurder funksjonene

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

For hver funksjon vil vi lage en verditabell. La oss sette vilkårlige verdier av x-variabelen og beregne de tilsvarende verdiene til Y-variabelen.

Etter å ha konstruert de resulterende parene (x;y) på koordinatplanet og koblet dem for hver funksjon separat (vi tok x-verdiene med et trinn på 1, hvis vi reduserer trinnet, vil punktene stilles opp oftere, og hvis trinnet er nær null, vil punktene smelte sammen til en heltrukket linje ), legger vi merke til at punktene er på linje i en rett linje i tilfelle 1) og i tilfelle 2). På grunn av det faktum at funksjonene er valgt vilkårlig (konstruer dine egne grafer y= 0,5x – 4, y= x + 5), konkluderer vi med at at grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Ved å bruke egenskapen til en rett linje: det er bare én rett linje som går gjennom to punkter, det er nok å ta to punkter for å konstruere en rett linje.

6. Fra geometri er det kjent at linjer enten kan krysse eller være parallelle. La oss studere den relative plasseringen av grafer for flere funksjoner.

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x – 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.

La oss bygge grupper av grafer 1) og 2) og trekke konklusjoner.

Grafene til funksjoner 1) er plassert parallelt, undersøker formlene, vi legger merke til at alle funksjoner har de samme koeffisientene for x.

Grafene til funksjoner 2) skjærte seg i ett punkt (0;2). Ved å undersøke formlene legger vi merke til at koeffisientene er forskjellige, og tallet b = 2.

I tillegg er det lett å legge merke til at rette linjer definert av lineære funksjoner med k › 0 danner en spiss vinkel med den positive retningen til Ox-aksen, og en stump vinkel med k ‹ 0. Derfor kalles koeffisienten k helningskoeffisienten.

7. La oss vurdere spesielle tilfeller av en lineær funksjon, avhengig av koeffisientene.

1) Hvis b=0, så har funksjonen formen y= kx, så k = y/x (forholdet viser hvor mange ganger forskjellen eller hvilken del y er fra x).

En funksjon av formen Y= kx kalles direkte proporsjonalitet. Denne funksjonen har alle egenskapene til en lineær funksjon, dens særegenhet er at for x=0 y=0. Den direkte proporsjonalitetsgrafen går gjennom opprinnelsespunktet (0;0).

2) Hvis k = 0, har funksjonen formen y = b, som betyr at for enhver verdi av x har funksjonen samme verdi.

En funksjon av formen y = b kalles konstant. Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet (0;b) parallelt med okseaksen ved b=0, grafen til konstantfunksjonen faller sammen med abscisseaksen.

Abstrakt

1. Definisjon En funksjon av formen Y = kx + b, hvor k, b er noen tall, x er et argument, Y er verdien av funksjonen, kalles en lineær funksjon.

D(y) – alle tall.

E(y) – alle tall.

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje som går gjennom punktet (0;b).

2. Hvis b=0, har funksjonen formen y= kx, kalt direkte proporsjonalitet. En direkte proporsjonalitetsgraf går gjennom origo.

3. Hvis k = 0, har funksjonen formen y= b og kalles konstant. Grafen til en konstant funksjon går gjennom punktet (0;b), parallelt med abscisseaksen.

4. Relativt arrangement av grafer for lineære funksjoner.

Funksjonene y= k 1 x + b 1 og y= k 2 x + b 2 er gitt.

Hvis k 1 = k 2, så er grafene parallelle;

Hvis k 1 og k 2 ikke er like, så krysser grafene hverandre.

5. Se ovenfor for eksempler på grafer for lineære funksjoner.

Litteratur.

1. Lærebok Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov og andre. "Algebra, 8."
2. Didaktisk materiale om algebra for klasse 8 / V.I. Zhokhov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. – M.: Utdanning, 2006. – 144 s.
3. Bilag til avisen 1. september “Matematikk”, 2001, nr. 2, nr. 4.

Maslova Angelina

Forskningsarbeid i matematikk. Angelina kompilerte en datamodell av en lineær funksjon, som hun brukte til å utføre forskningen.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Kommunal autonom utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 8 i det urbane distriktet Bor, Nizhny Novgorod-regionen

Forskningsarbeid innen informatikk og matematikk

Fullført av en elev i klasse 7A, Angelina Maslova

Leder: lærer i informatikk, Voronina Anna Alekseevna.

Bydistriktet Bor - 2015

Introduksjon

1. Utforske lineære funksjoner i regneark

Konklusjon

Bibliografi

Introduksjon

I år i algebra-timer ble vi introdusert for lineære funksjoner. Vi lærte å bygge en graf av en lineær funksjon, bestemte hvordan grafen til en funksjon skulle oppføre seg avhengig av koeffisientene. Litt senere, i en informatikktime, lærte vi at disse handlingene kan betraktes som matematisk modellering. Jeg bestemte meg for å se om det var mulig å utforske en lineær funksjon ved å bruke regneark.

Målet med arbeidet: utforske lineær funksjon i regneark

Forskningsmål:

• finne og studere informasjon om en lineær funksjon;
• bygge en matematisk modell av en lineær funksjon i et regneark;
• utforske en lineær funksjon ved å bruke den konstruerte modellen.

Studieobjekt:matematisk modellering.

Studieemne:matematisk modell av en lineær funksjon.

Modellering som erkjennelsesmetode

En person opplever verden nesten fra fødselen. For å gjøre dette bruker en person modeller som kan være veldig forskjellige.

Modell er et nytt objekt som gjenspeiler noen essensielle egenskaper til et ekte objekt.

Modeller av virkelige objekter brukes i en rekke situasjoner:

1. Når et objekt er veldig stort (for eksempel er jorden en modell: en globus eller et kart) eller omvendt for liten (en biologisk celle).
2. Når objektet er veldig komplekst i sin struktur (bil - modell: barnebil).
3. Når en gjenstand er farlig å studere (vulkan).
4. Når objektet er veldig langt unna.

Modellering er prosessen med å lage og studere en modell.

Vi lager og bruker modeller selv, noen ganger uten å tenke på det. For eksempel tar vi bilder av en hendelse i livet vårt og viser dem til vennene våre.

Basert på typen informasjon kan alle modeller deles inn i flere grupper:

1. Verbale modeller. Disse modellene kan eksistere i muntlig eller skriftlig form. Det kan bare være en verbal beskrivelse av et objekt eller et dikt, eller det kan være en avisartikkel eller et essay – alle disse er verbale modeller.
2. Grafiske modeller. Dette er våre tegninger, fotografier, diagrammer og grafer.
3. Ikoniske modeller. Dette er modeller skrevet på et eller annet symbolspråk: notater, matematiske, fysiske eller kjemiske formler.

Lineær funksjon og dens egenskaper

Lineær funksjonkalt en funksjon av formen

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

1 . Å plotte en funksjon, trenger vi koordinatene til to punkter som tilhører grafen til funksjonen. For å finne dem må du ta to x-verdier, erstatte dem med funksjonslikningen og bruke dem til å beregne de tilsvarende y-verdiene.

For eksempel å plotte en funksjon, praktisk å ta og , da vil ordinatene til disse punktene være like Og .

Vi får punktene A(0;2) og B(3;3). La oss koble dem sammen og få en graf over funksjonen:

2 . I ligningen til funksjonen y=kx+b er koeffisienten k ansvarlig for helningen til funksjonsgrafen:

Koeffisient b er ansvarlig for å flytte grafen langs OY-aksen:

Figuren nedenfor viser grafene over funksjoner; ;

Merk at i alle disse funksjonene er koeffisienten større enn null til høyre . Dessuten, jo større verdi, jo brattere går den rette linjen.

I alle funksjoner– og vi ser at alle grafer skjærer OY-aksen ved punkt (0;3)

La oss nå se på grafene for funksjoner; ;

Denne gangen i alle funksjoner koeffisienten mindre enn null , og alle funksjonsgrafer er skråstilte venstre . Koeffisienten b er den samme, b=3, og grafene, som i forrige tilfelle, skjærer OY-aksen i punktet (0;3)

La oss se på grafene over funksjoner; ;

Nå i alle funksjonsligninger er koeffisienteneer like. Og vi fikk tre parallelle linjer.

Men koeffisientene b er forskjellige, og disse grafene skjærer OY-aksen på forskjellige punkter:

Graf av en funksjon (b=3) skjærer OY-aksen i punktet (0;3)

Graf av en funksjon (b=0) skjærer OY-aksen i punktet (0;0) - origo.

Graf av en funksjon (b=-2) skjærer OY-aksen i punktet (0;-2)

Så hvis vi kjenner tegnene til koeffisientene k og b, kan vi umiddelbart forestille oss hvordan grafen til funksjonen ser ut.

Hvis k 0, deretter grafen til funksjonen har formen:

Hvis k>0 og b>0 , deretter grafen til funksjonen har formen:

Hvis k>0 og b , deretter grafen til funksjonen har formen:

Hvis k, deretter grafen til funksjonen har formen:

Hvis k=0, så funksjonen blir til en funksjonog grafen ser slik ut:

Ordinatene til alle punktene på grafen til funksjonen lik

Hvis b=0 , deretter grafen til funksjonengår gjennom origo:

4. Betingelse for parallellitet av to linjer:

Graf av en funksjon parallelt med grafen til funksjonen, Hvis

5. Betingelsen for vinkelrettheten til to rette linjer:

Graf av en funksjon vinkelrett på grafen til funksjonen, hvis eller

6 . Skjæringspunkter for en funksjonsgrafmed koordinatakser.

Med OY akse. Abscissen til ethvert punkt som tilhører OY-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OY-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for x. Vi får y=b. Det vil si at skjæringspunktet med OY-aksen har koordinater (0; b).

Med OX-akse: Ordinaten til ethvert punkt som tilhører OX-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OX-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for y. Vi får 0=kx+b. Herfra. Det vil si at skjæringspunktet med OX-aksen har koordinater (;0):

Utforske lineære funksjoner i regneark

For å studere en lineær funksjon i et regnearkmiljø, kompilerte jeg følgende algoritme:

1. Konstruer en matematisk modell av en lineær funksjon i et regneark.
2. Fyll ut sporingstabellen med argument- og funksjonsverdier.
3. Plott en lineær funksjon ved hjelp av kartveiviseren.
4. Utforsk den lineære funksjonen avhengig av verdiene til koeffisientene.

For å studere den lineære funksjonen brukte jeg Microsoft Office Excel 2007. Jeg brukte formler for å kompilere tabeller med argument- og funksjonsverdier. Jeg fikk følgende verditabell:

Ved å bruke en slik matematisk modell kan du enkelt overvåke endringer i grafen til en lineær funksjon ved å endre verdiene til koeffisientene i tabellen.

Ved å bruke regneark bestemte jeg meg for å overvåke hvordan den relative plasseringen av grafene til to lineære funksjoner endres. Etter å ha bygget en ny matematisk modell i et regneark, fikk jeg følgende resultat:

Ved å endre koeffisientene til to lineære funksjoner ble jeg tydelig overbevist om gyldigheten av informasjonen jeg hadde lært om egenskapene til lineære funksjoner.

Konklusjon

Den lineære funksjonen i algebra regnes som den enkleste. Men samtidig har den mange egenskaper som ikke umiddelbart er klare. Etter å ha bygget en matematisk modell av en lineær funksjon i regneark og undersøkt den, ble egenskapene til en lineær funksjon tydeligere for meg. Jeg var tydelig i stand til å se hvordan grafen endres når koeffisientene til funksjonen endres.

Jeg tror at den matematiske modellen jeg bygde vil hjelpe elever i sjuende klasse på en uavhengig måte å utforske den lineære funksjonen og forstå den bedre.

Bibliografi

1. Algebra lærebok for 7. klasse.
2. Informatikk lærebok for 7. klasse
3. Wikipedia.org

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Studieobjekt: lineær funksjon. Forskningsemne: matematisk modell av en lineær funksjon.

Hensikt med arbeidet: å undersøke en lineær funksjon i regneark Forskningsmål: å finne og studere informasjon om den lineære funksjonen. bygge en matematisk modell av en lineær funksjon i et regneark; utforske en lineær funksjon ved å bruke den konstruerte modellen.

En lineær funksjon er en funksjon av formen y= k x+ b, der x er et argument, og k og b er noen tall (koeffisienter) Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

Betrakt en funksjon y=kx+b slik at k 0 , b=0 . Visning: y=kx I ett koordinatsystem vil vi konstruere grafer av disse funksjonene: y=3x y=x y=-7x Vi vil konstruere hver graf med den tilsvarende fargen x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7

Grafen til en lineær funksjon av formen y = k x går gjennom origo. y=x y=3x y=-7x y x

Konklusjon: Grafen til en lineær funksjon av formen y = kx + b skjærer O Y-aksen i punktet (0; b).

Tenk på funksjonen y=kx+b, der k=0. Visning: y=b Konstruer funksjonsgrafer i ett koordinatsystem: y=4 y=-3 y=0 Vi konstruerer hver graf med riktig farge

Grafen til en lineær funksjon av formen y = b løper parallelt med OX-aksen og skjærer O Y-aksen i punktet (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

I ett koordinatsystem konstruerer du grafer av funksjoner: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Vi konstruerer hver graf med passende farge x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Grafer av lineære funksjoner på formen y=kx+b er parallelle hvis koeffisientene til x er like. y =2x+ 3 y =2x y =2x-4 y x

I ett koordinatsystem vil vi konstruere grafer av funksjoner: y=3x+4 Y= - 2x+4 Vi vil konstruere grafer med passende farge x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Grafene til to lineære funksjoner på formen y=kx+b krysser hverandre hvis koeffisientene til x er forskjellige. y x

I ett koordinatsystem skal vi konstruere grafer av funksjoner: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 y -2 0 x 0 1 y -1 3 x 0 - 4 y -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 Grafer av to lineære funksjoner på formen y=kx+b er gjensidig perpendikulære hvis produktet av koeffisientene til x er "-1" .

Derfor kalles koeffisienten k helningen til den rette linjen - grafen til funksjonen y=kx+ b. Hvis k 0, så er helningsvinkelen til grafen til O X-aksen spiss. Funksjonen øker. y x y x

Regneark

Regneark

Lineære ligninger Algebraisk tilstand Geometrisk utledning y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * til 2 = -1 Linjer er parallelle Linjer er sammenfallende Linjer er vinkelrette Linjer krysser hverandre

Den matematiske modellen jeg bygde vil hjelpe elever i sjuende klasse uavhengig å utforske den lineære funksjonen og forstå den bedre.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige organer i Den russiske føderasjonen - å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Oppsummer og systematisere kunnskap om temaet "Lineær funksjon":

• konsolidere evnen til å lese og bygge grafer av funksjoner gitt av formlene y = kx+b, y = kx;
• konsolidere evnen til å bestemme den relative posisjonen til grafer for lineære funksjoner;
• utvikle ferdigheter i å arbeide med grafer over lineære funksjoner.

Utvikle evne til å analysere, sammenligne, trekke konklusjoner. Utvikling av kognitiv interesse for matematikk, kompetent muntlig matematisk tale, nøyaktighet og presisjon i konstruksjon.

Oppdragelse oppmerksomhet, uavhengighet i arbeid, evne til å arbeide i par.

Utstyr: linjal, blyant, oppgavekort, fargeblyanter.

Leksjonstype: leksjon om å konsolidere det lærte materialet.

Timeplan:

1. Organisering av tid.
2. Muntlig arbeid. Matematisk diktat med selvtest og egenvurdering. Historisk ekskursjon.
3. Treningsøvelser.
4. Selvstendig arbeid.
5. Leksjonssammendrag.
6. Hjemmelekser.

I løpet av timene

1. Oppgi formålet med leksjonen.

Hensikten med timen er å oppsummere og systematisere kunnskap om temaet "Lineær funksjon".

2. La oss starte med å teste dine teoretiske kunnskaper.

– Definer funksjonen. Hva er en uavhengig variabel? Avhengig variabel?

– Definer grafen til en funksjon.

– Formuler definisjonen av en lineær funksjon.

– Hva er grafen til en lineær funksjon?

– Hvordan tegne en lineær funksjon?

– Formuler definisjonen av direkte proporsjonalitet. Hva er en graf? Hvordan lage en graf? Hvordan er grafen til funksjonen y = kx plassert i koordinatplanet for k > 0 og for k< 0?

Matematisk diktat med selvtest og egenvurdering.

Se på bildene og svar på spørsmålene.

1) Hvilken funksjons graf er overflødig?

2) Hvilken figur viser en graf over direkte proporsjonalitet?

3) I hvilken figur har grafen til en lineær funksjon negativ helning?

4) Bestem tegnet for tall b. (Skriv svaret som en ulikhet)

Kontrollerer arbeidet. Vurdering.

Arbeid i par.

Dechiffrer navnet på matematikeren som først brukte begrepet funksjon. For å gjøre dette, skriv i boksene bokstaven som tilsvarer grafen til den gitte funksjonen. Skriv bokstaven C i det resterende kvadratet Fullfør tegningen med en graf av funksjonen som tilsvarer denne bokstaven.

Bilde 1

Figur 2

Figur 3

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, tysk filosof, matematiker, fysiker og lingvist. Han og den engelske vitenskapsmannen I. Newton skapte (uavhengig av hverandre) grunnlaget for en viktig gren av matematikken - matematisk analyse. Leibniz introduserte mange begreper og symboler som fortsatt brukes i matematikk i dag.

3. 1. Gitt funksjonene spesifisert av formlene: y = x-5; y = 0,5x; y = – 2x; y = 4.

Gi navn til funksjonene. Angi grafene for hvilke av disse funksjonene som vil gå gjennom punkt M (8;4). Vis skjematisk hvordan tegningen vil se ut hvis du viser grafer av funksjoner som går gjennom punkt M på den.

2. Grafen for direkte proporsjonalitet går gjennom punkt C (2;1). Skriv en formel som spesifiserer direkte proporsjonalitet. Ved hvilken verdi av m vil grafen gå gjennom punkt B (-4;m).

3. Tegn grafen for funksjonen gitt av y=1/2X. Hvordan kan du få fra grafen til en gitt funksjon en graf for en funksjon gitt av formelen y=1/2X – 4 og y = 1/2X+3. Analyser de resulterende grafene.

4. Funksjonene er gitt av formlene:

1) y = 4x+9 og y = 6x-5;
2) y=1/2x-3 og y=0,5x+2;
3) y = x og y = -5x+2,4;
4) y= 3x+6 og y= -2,5x+6.

Hva er den relative posisjonen til funksjonsgrafene? Uten å utføre noen konstruksjon, finn koordinatene til skjæringspunktet til det første paret med grafer. (Selv test)

4. Selvstendig arbeid i par. (utført på ml papir). Tverrfaglig kommunikasjon.

Det er nødvendig å konstruere grafer av funksjoner og velge den delen av den for punktene som den tilsvarende ulikheten gjelder:

y = x + 6,	4 < X < 6;
y = -x + 6,	-6 < X < -4;
y = – 1/3 x + 10,	-6 < X < -3;
y = 1/3 x +10,	3 < X < 6;
y = -x + 14,	0 < X < 3;
y = x + 14,	-3 < X < 0;
y = 9x – 18,	2 < X < 4;
y = – 9x – 18	-4 < X < -2;
y = 0,	-2 < X < 2.

Hva slags tegning fikk du? ( Tulipan.)

Litt om tulipaner:

Omtrent 120 arter av tulipaner er kjent, hovedsakelig fordelt i Sentral-, Øst- og Sør-Asia og Sør-Europa. Botanikere mener at tulipankulturen oppsto i Tyrkia på 1100-tallet. Planten fikk verdensberømmelse langt fra hjemlandet, i Holland, med rette kalt Tulipanens land.

Her er legenden om tulipanen. Lykken var inneholdt i den gyldne knoppen til en gul tulipan. Ingen kunne nå denne lykken, for det fantes ingen slik kraft som kunne åpne knoppen. Men en dag gikk en kvinne med et barn gjennom engen. Gutten rømte fra morens armer, løp opp til blomsten med en klingende latter, og den gyldne knoppen åpnet seg. Den bekymringsløse barnas latter utrettet det ingen kraft kunne gjøre. Siden den gang har det blitt en skikk å gi tulipaner kun til de som opplever lykke.

Kreative lekser. Lag en tegning i et rektangulært koordinatsystem, bestående av segmenter, og lag en analytisk modell av den.

6. Selvstendig arbeid. Differensiert oppgave (i to versjoner)

Alternativ I:

Skisser grafene for funksjonene:

Alternativ II:

Tegn skjematisk grafene for funksjoner der følgende betingelser er oppfylt:

7. Leksjonssammendrag

Analyse av utført arbeid. Karaktersetting.

Bruksanvisning

For å finne koordinatene til et punkt på en linje, velg det på linjen og tegn vinkelrette linjer på koordinataksen. Bestem hvilket tall skjæringspunktet tilsvarer, skjæringspunktet med x-aksen er abscisseverdien, det vil si x1, skjæringspunktet med y-aksen er ordinaten, y1.

Prøv å velge et punkt hvis koordinater kan bestemmes uten brøkverdier, for enkelhets skyld og nøyaktighet av beregninger. For å konstruere en ligning trenger du minst to punkter. Finn koordinatene til et annet punkt som tilhører denne linjen (x2, y2).

Bytt inn koordinatverdiene i ligningen til en rett linje med den generelle formen y=kx+b. Du vil få et system med to ligninger y1=kx1+b og y2=kx2+b. Løs dette systemet, for eksempel på følgende måte.

Uttrykk b fra den første ligningen og bytt inn i den andre, finn k, bytt inn i en hvilken som helst ligning og finn b. For eksempel vil løsningen til systemet 1=2k+b og 3=5k+b se slik ut: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Dermed er likningen til linjen y=1,5x-2.

Når du kjenner til to punkter som tilhører en linje, prøv å bruke den kanoniske ligningen til en linje, den ser slik ut: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). Bytt ut verdiene (x1;y1) og (x2;y2), forenkle. For eksempel hører punktene (2;3) og (-1;5) til den rette linjen (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x eller y=6-1,5x.

For å finne ligningen til en funksjon som har en ikke-lineær graf, fortsett som følger. Se alle standarddiagrammer y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx, etc. Hvis en av dem minner deg om timeplanen din, bruk den som grunnlag.

Tegn en standardgraf av basisfunksjonen på samme koordinatakse og finn den fra grafen din. Hvis grafen flyttes flere enheter opp eller ned, betyr det at dette tallet er lagt til funksjonen (for eksempel y=sinx+4). Hvis grafen flyttes til høyre eller venstre, betyr det at et tall er lagt til argumentet (for eksempel y=sin (x+P/2).

En langstrakt graf i høyden indikerer at argumentfunksjonen multipliseres med et tall (for eksempel y=2sinx). Hvis grafen tvert imot reduseres i høyden, betyr det at tallet foran funksjonen er mindre enn 1.

Sammenlign grafen til basisfunksjonen og funksjonen din etter bredde. Hvis det er smalere, blir x innledet av et tall større enn 1, bredt - et tall mindre enn 1 (for eksempel y=sin0,5x).

Merk

Kanskje tilsvarer grafen den funnet ligningen bare på et bestemt segment. I dette tilfellet, angi hvilke verdier av x den resulterende likheten gjelder.

En rett linje er en algebraisk linje av første orden. I et kartesisk koordinatsystem på et plan er likningen til en rett linje gitt av en likning av første grad.

Du vil trenge

• Kunnskap om analytisk geometri. Grunnleggende kunnskap om algebra.

Bruksanvisning

Ligningen er gitt ved to som denne rette linjen må passere på. La oss lage et forhold mellom koordinatene til disse punktene. La det første punktet ha koordinater (x1,y1), og det andre (x2,y2), så vil ligningen til den rette linjen skrives som følger: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1) )(y2-y1).

La oss transformere den resulterende rettlinjeligningen og uttrykke y eksplisitt i form av x. Etter denne operasjonen vil ligningen til den rette linjen ta sin endelige form: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Video om emnet

Merk

Hvis et av tallene i nevneren er null, betyr det at linjen er parallell med en av koordinataksene.

Nyttige råd

Etter at du har skrevet linjens ligning, kontroller at den er korrekt. For å gjøre dette, bytt ut koordinatene til punktene i stedet for de tilsvarende koordinatene og sørg for at likheten er oppfylt.

Det er ofte kjent at y avhenger lineært av x, og en graf over denne avhengigheten er gitt. I dette tilfellet er det mulig å finne ut ligningen til linjen. Først må du velge to punkter på en linje.

Bruksanvisning

Finn de valgte punktene. For å gjøre dette, senk perpendikulærene fra punktene på koordinataksen og skriv ned tallene fra skalaen. Så for punkt B fra vårt eksempel er x-koordinaten -2, og y-koordinaten er 0. Tilsvarende vil koordinatene for punkt A være (2;3).

Det er kjent at den rette linjen har formen y = kx + b. Vi erstatter koordinatene til de valgte punktene i ligningen i generell form, og for punkt A får vi følgende ligning: 3 = 2k + b. For punkt B får vi en annen ligning: 0 = -2k + b. Det er klart at vi har et system med to ligninger med to ukjente: k og b.

Da løser vi systemet på en passende måte. I vårt tilfelle er det mulig å legge til likningene til systemet, siden den ukjente k er inkludert i begge likningene med koeffisienter som er identiske i størrelse, men motsatt i fortegn. Da får vi 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, eller, hva er det samme: 3 = 2b. Dermed b = 3/2. Bytt inn den funnet verdien av b i en av ligningene for å finne k. Da er 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

La oss erstatte funnet k og b i den generelle ligningen og få den ønskede ligningen for den rette linjen: y = 3x/4 + 3/2.

Video om emnet

Merk

Koeffisienten k kalles helningen til linjen og er lik tangenten til vinkelen mellom linjen og x-aksen.

En rett linje kan trekkes fra to punkter. Koordinatene til disse punktene er "gjemt" i linjens ligning. Ligningen vil fortelle deg alle hemmelighetene om linjen: hvordan den roteres, på hvilken side av koordinatplanet den er plassert, etc.

Bruksanvisning

Oftere kreves det å bygge inn et fly. Hvert punkt vil ha to koordinater: x, y. Vær oppmerksom på ligningen, den følger den generelle formen: y=k*x ±b, hvor k, b er frie tall, og y, x er de samme koordinatene til alle punktene på linjen finn y-koordinaten du trenger å vite x-koordinaten Det mest interessante er at du kan velge hvilken som helst verdi for x-koordinaten: fra hele uendeligheten av kjente tall. Deretter erstatter du x i ligningen og løser den for å finne y. Eksempel. La ligningen gis: y=4x-3. Kom opp med to verdier for koordinatene til to punkter. For eksempel, x1 = 1, x2 = 5. Bytt inn disse verdiene i ligningene for å finne y-koordinatene. y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. Vi får to punkter A og B, A (1; 1) og B (5; 17).

Du bør plotte de funnet punktene i koordinataksen, koble dem sammen og se den helt rette linjen som ble beskrevet av ligningen. For å konstruere en rett linje, må du jobbe i et kartesisk koordinatsystem. Tegn X- og Y-aksene Sett verdien til "null" ved skjæringspunktet. Tegn tallene på aksene.

I det konstruerte systemet markerer du de to punktene i trinn 1. Prinsippet for å sette de angitte punktene: punkt A har koordinater x1 = 1, y1 = 1; på X-aksen velg tallet 1, på Y-aksen – tallet 1. Punkt A er plassert på dette punktet er gitt av verdiene x2 = 5, y2 = 17. Finn punkt. B på grafen. Koble A og B for å lage en rett linje.

Video om emnet

Begrepet å løse en funksjon som sådan brukes ikke i matematikk. Denne formuleringen skal forstås som å utføre visse handlinger på en gitt funksjon for å finne en spesifikk karakteristikk, samt finne ut de nødvendige dataene for å konstruere en graf av funksjonen.

Bruksanvisning

Du kan vurdere et omtrentlig diagram i henhold til hvilken oppførselen til funksjonen er passende og bygge grafen.
Finn domenet til funksjonen. Bestem om funksjonen er partall eller oddetall. Hvis du finner ønsket svar, fortsett kun på den nødvendige halvaksen. Finn ut om funksjonen er periodisk. Hvis svaret er positivt, fortsett studien i bare én periode. Finn punktene og bestem deres oppførsel i nærheten av disse punktene.

Finn skjæringspunktene til grafen til funksjonen med koordinataksene. Finn dem hvis de finnes. Bruk den første deriverte til å undersøke en funksjon for ekstrema og monotonisitetsintervaller. Gjennomfør også en studie ved å bruke den andre deriverte for konveksitet, konkavitet og bøyningspunkter. Velg punkter for å avgrense funksjonen og beregne funksjonsverdiene ved dem. Konstruer en graf av funksjonen, ta hensyn til resultatene fra alle utførte studier.

På 0X-aksen bør karakteristiske punkter identifiseres: diskontinuitetspunkter, x = 0, funksjonsnuller, ekstremumpunkter, bøyningspunkter. Disse asymptotene vil gi en skisse av grafen til funksjonen.

Så ved å bruke et spesifikt eksempel på funksjonen y=((x^2)+1)/(x-1), utfør en studie ved å bruke den første deriverte. Omskriv funksjonen som y=x+1+2/(x-1). Den første deriverte vil være lik y’=1-2/((x-1)^2).
Finn kritiske punkter av den første typen: y’=0, (x-1)^2=2, resultatet vil være to punkter: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Merk de oppnådde verdiene på definisjonsdomenet for funksjonen (fig. 1).
Bestem tegnet til den deriverte på hvert av intervallene. Basert på regelen om å veksle tegn fra "+" til "-" og fra "-" til "+", får du at maksimumspunktet for funksjonen er x1=1-sqrt2, og minimumspunktet er x2=1+ sqrt2. Den samme konklusjonen kan trekkes fra tegnet til den andre deriverte.