Bevegelsen av kroppen forlatt i en vinkel. Flying av kroppen kastet i en vinkel mot horisonten. Kroppsbevegelse forlatt horisontalt

På flere eksempler (som jeg opprinnelig løst, som vanlig på otvet.mail.ru) vurdere klassen av utfordringer av elementær ballistikk: kroppen lansert i en vinkel i horisonten med litt innledende hastighet, uten å ta hensyn til Motstanden til luften og krumningen på jordens overflate (det vil si den retningen akselerasjonsvektoren av fritt fall g vi anser uendret).

Oppgave 1. Kroppsflygingsområdet er lik høyden på flyet over bakken. Når kroppen ble kastet under hjørnet? (I noen kilder, av en eller annen grunn, er det feil svaret 63 grader).

Angi flyetiden som 2 * t (deretter for T, stiger kroppen oppover, og i neste periode t - ned). La den horisontale komponenten av hastigheten V1, vertikal - V2. Deretter er flyet s \u003d v1 * 2 * t. Høyden på flyet H \u003d G * t * t / 2 \u003d v2 * t / 2. Lik
S \u003d H.
V1 * 2 * t \u003d v2 * t / 2
V2 / v1 \u003d 4
Forholdet mellom vertikale og horisontale hastigheter er tangenten av den ønskede vinkel a, hvorfra α \u003d arctan (4) \u003d 76 grader.

Oppgave 2. Kroppen ble kastet fra jordens overflate ved en hastighet v0 i en vinkel α til horisonten. Finn radiusen til krumningen i kroppen av kroppen: a) i begynnelsen av bevegelsen; b) på toppen av banen.

I begge tilfeller er kilden til kurvatiniteten av bevegelsen tyngdekraften, det vil si akselerasjonen av det frie fallet g, rettet vertikalt nedover. Alt som kreves her er å finne projeksjonen g, vinkelrett på den nåværende hastigheten V, og tilsvarer sin centripetale akselerasjon V ^ 2 / R, hvor R er den ønskede krumningsradiusen.

Som det kan ses fra tegningen, kan vi skrive for å starte bevegelsen
gn \u003d g * cos (a) \u003d v0 ^ 2 / r
hvor er den ønskede radius r \u003d v0 ^ 2 / (g * cos (a))

For toppunktet til banen (se figur) vi har
g \u003d (v0 * cos (a)) ^ 2 / r
hvor r \u003d (v0 * cos (a)) ^ 2 / g

Oppgave 3. (Variasjon på emnet) Skallet beveget seg horisontalt i høyden H og kjørte i to identiske fragmenter, hvorav den ene falt til bakken gjennom tiden T1 etter eksplosjonen. Etter hvilken tid etter fallet av det første fragmentet, vil den andre falle?

Uansett hvilken vertikal vertikal hastighet v ervervet det første fragmentet, vil den andre tilegne seg den samme vertikale hastigheten på modulen, men rettet i motsatt retning (dette følger av samme masse av fragmenter og bevaring av pulsen). I tillegg er V rettet ned, for ellers vil det andre fragmentet fly til bakken til den første.

h \u003d v * t1 + g * t1 ^ 2/2
V \u003d (H-G * T1 ^ 2/2) / T1
Den andre vil fly opp, mister den vertikale hastigheten gjennom tiden v / g, og så samtidig vil det ta ned til den første høyden H, og tiden T2 i forsinkelsen i forhold til det første fragmentet (ikke tidspunktet for flyet fra eksplosjonspunktet) vil være
t2 \u003d 2 * (v / g) \u003d 2h / (g * t1) -t1

ytterligere til 2018-06-03.

Sitat:
Stenen kastes med en hastighet på 10 m / s i en vinkel på 60 ° i horisonten. Bestem tangentiell og normal akselerasjon av kroppen etter 1,0 S etter begynnelsen av bevegelsen, radiusen til krumningen av banen på dette tidspunktet, varigheten og området på flyet. Hvilken vinkel danner vektoren av full akselerasjon med en hastighetsvektor på t \u003d 1,0 S

Etter 1 sekund vil den vertikale hastigheten være 8,66 - 9,8 * 1 \u003d -1,14 m / s (rettet ned). Så hastighetsvinkelen til horisonten vil være Arctan (1,14 / 5) \u003d 12,8 ° (ned). Insofar As. full akselerasjon Her er den eneste og uendrede (dette er en akselerasjon av fritt fall g.rettet vertikalt ned), så vinkelen mellom kroppshastigheten og g. På dette tidspunktet vil det være 90-12,8 \u003d 77,2 °.

Tangentiell akselerasjon er en projeksjon g. På retningen av hastighetsvektoren, som betyr at den er G * Sin (12,8) \u003d 2,2 m / S2. Normal akselerasjon er vinkelrett på hastighetsvektorprojeksjonen g., Det er lik g * cos (12,8) \u003d 9,56 m / s2. Og siden sistnevnte er forbundet med kurvets hastighet og radius ved uttrykket v ^ 2 / r, har vi 9,56 \u003d (5 * 5 + 1,14 * 1,14) / R, hvorfra den ønskede radius r \u003d 2,75 m.

La kroppen kastes i en vinkel α Til horisonten ved hastigheten \\ (~ \\ vec \\ upsilon_0 \\). Som i de foregående tilfellene vil vi forsømme motstanden til luften. For å beskrive bevegelse må du velge to akser av koordinater - OKSE. og Oy. (Figur 1). Begynnelsen av referansen er kompatibel med kroppens første posisjon. Projeksjon av innledende hastighet på aksen Oy. og OKSE.\\ [~ \\ Upsilon_ (0y) \u003d \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha; \\ \\ Upsilon_ (0x) \u003d \\ upsilon_0 \\ cos \\ alpha \\]. Accelerasjonsprognoser: g. x \u003d 0; g. y \u003d - g..

Deretter vil kroppens bevegelse bli beskrevet av ligningene:

\\ (~ x \u003d \\ upsilon_0 \\ cos \\ alpha t; \\ qquad (1) \\) \\ (~ \\ upsilon_x \u003d \\ upsilon_0 \\ cos \\ alpha; \\ qquad (2) \\) \\ (~ y \u003d \\ upsilon_0 \\ sin \\ upsilon_0 \\ Alpha t - \\ frac (gt ^ 2) (2); \\ qquad (3) \\) \\ (~ \\ upsilon_y \u003d \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha - gt. \\ Qquad (4) \\)

Fra disse formlene følger det i den horisontale retningen kroppen beveger seg jevnt i hastigheten \\ (~ \\ upsilon_x \u003d \\ upsilon_0 \\ cos \\ alpha \\), og i vertikal - jevnt.

Bodeksens bånd vil være parabol. Vurderer det på topppunktet parabola υ y \u003d 0, kan du finne tid t. 1 løft av kroppen til topppunktet Parabola:

\\ (~ 0 \u003d \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha - gt_1 \\ retarrow t_1 \u003d \\ frac (\\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha) (g). \\ Qquad (5) \\)

Erstatte verdien t. 1 I ligning (3) finner vi maksimal høyde på løftingen av kroppen:

\\ (~ H_ (maks) \u003d y_1 \u003d \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha \\ frac (\\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha) (g) - \\ frac (g) (2) \\ frac (\\ upsilon ^ 2_0 \\ sin ^ 2 \\ \\ Alfa) (g ^ 2), \\) \\ (~ h_ (maks) \u003d \\ frac (\\ upsilon ^ 2_0 \\ sin ^ 2 \\ alfa) (2g) \\) - maksimal kroppsløfthøyde.

Kroppsflygtid finner vi fra tilstanden som t. = t. 2 Koordinere y. 2 \u003d 0. Derfor, \\ (~ \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha t_2 - \\ frac (gt ^ 2_2) (2) \u003d 0 \\). Derfor, \\ (~ t_1 \u003d \\ frac (2 \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha) (g) \\) er flyetiden. Sammenligne denne formelen med formel (5), ser vi det t. 2 = 2 t. en . Kroppsbevegelsestid med maksimal høyde t. 3 = t. 2 - t. 1 = 2t. 1 - t. 1 = t. en . Følgelig, hvor mye tid kroppen stiger til maksimal høyde, så mye tid faller den fra denne høyden. Erstatter koordinatligningen x. (1) Tidsverdi t. 2, vi finner:

\\ (~ L \u003d \\ frac (2 \\ upsilon_0 \\ cos \\ alpha \\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha) (g) \u003d \\ frac (\\ upsilon ^ 2_0 \\ sin 2 \\ alpha) (g) \\) - Body Flight Distance.

Øyeblikkelig hastighet på et hvilket som helst punkt av banen er rettet mot en tangent til banen (se figur 1). Hastighetsmodulen bestemmes av formelen

\\ (\\ Upsilon \u003d \\ sqrt (\\ upsilon ^ 2_x + \\ upsilon ^ 2_y) \u003d \\ sqrt (\\ upsilon ^ 2_0 \\ cos ^ 2 \\ alpha + (\\ upsilon_0 \\ sin \\ alpha - gt ^ 2)) \u003d \\ sqrt (\\ Upsilon ^ 2_0 - 2 \\ upsilon_0 gt \\ sin \\ alpha + g ^ 2t ^ 2). \\)

Dermed kan bevegelsen av kroppen kastet i en vinkel i horisonten eller i en horisontal retning betraktes som et resultat av to uavhengige bevegelser - horisontal uniform og vertikal ekvivalent (fri fall uten innledende hastighet eller kroppsbevegelse kastet opp vertikalt opp).

Litteratur

Aksenovich L. A. Fysikk i videregående skole: teori. Oppgaver. Test: Studier. Håndbok for institusjoner som sikrer produksjonen av total. media, utdanning / L. A. Aksenovich, N.N.Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Fyrino. - Mn: Adukatsya i Vikavanne, 2004. - P. 16-17.

Kinematikk er enkelt!

Etter kastet, i fly, har kroppen kraften i tyngdekraften Ft. og luftmotstandskraft Fs..
Hvis bevegelsen av kroppen oppstår ved lave hastigheter, blir det vanligvis ikke tatt i betraktning når man beregner kraften i luftmotstanden.
Så, vi kan anta at bare tyngdekraften virker på kroppen, det betyr at bevegelsen av en forlatt kropp er hyppig høst.
Hvis dette er et fritt fall, er det å akselerere den forlatte kroppen lik akselerasjonen av fritt fall g..
Ved lave høyder om jordens overflate er tyngdekraften FT praktisk talt ikke endret, slik at kroppen beveger seg med konstant akselerasjon.

Så, bevegelsen av kroppen kastet i en vinkel mot horisonten er et alternativ for fritt fall, dvs. Bevegelse med konstant akselerasjon og krøllete bane (Fordi hastighet og akselerasjonsvektorer ikke faller sammen i retning).

Formler av denne bevegelsen i vektorform: For å beregne bevegelsen av kroppen, er det rektangulære xoy koordinatsystemet valgt, fordi Kroppsbevegelsen er parabolen, som ligger i flyet som går gjennom FT og VO vektorer.
I begynnelsen av koordinatene velger de vanligvis opprinnelsesstedet til den kastede kroppen.

Når som helst, endringen i hastigheten på kroppens bevegelse mot akselerasjonen.

Kroppshastighetsvektoren på et hvilket som helst punkt av banen kan dekomponeres på de 2 komponentene: Vector V X og Vector V Y.
Når som helst, vil kroppshastigheten bli bestemt som den geometriske summen av disse vektorene:

Ifølge figuren ser fremspringene til hastighetsvektoren på koordinataksene til okse og OY som dette:

Beregning av kroppshastighet når som helst:

Beregning av kroppsbevegelse når som helst:

Hvert punkt av kroppens bevegelse tilsvarer koordinatene x og y:

Estimerte formler for koordinatene til en forlatt kropp når som helst:

Fra bevegelsesligningen kan du trekke formelen for å beregne det maksimale flyområdet L:

og maksimal flyttende høyde n:

P.S.
1. Med like første innledende hastigheter VO Flight Range:
- øker hvis den første kastvinkelen øker fra 0 til 45 o,
- Reduserer hvis den første kastvinkelen øker fra 45 o til 90 o.

2. Med likestående anklag vinkler, øker flyområdet L øker med en økning i den opprinnelige hastigheten til VO.

3. En spesiell anledning av bevegelsen av kroppen kastet i en vinkel mot horisonten er kroppsbevegelse forlatt horisontaltSamtidig er den første kastvinkelen null.

Hvis kroppen kastes i en vinkel mot horisonten, driver tyngdekraften og styrken av luftmotstanden på flukt. Hvis motstandskraften blir forsømt, forblir den eneste kraften - tyngdekraften. Derfor, på grunn av den andre Newton-loven, beveger kroppen seg med en akselerasjon lik akselerasjonen av fritt fall; Fremskrivninger av akselerasjon på koordinataksene Ah \u003d 0, AU \u003d - G.

Figur 1. Kinematiske egenskaper av kroppen kastet i en vinkel mot horisonten

Hvem som helst kompleks trafikk Materialpunktet kan representeres som pålegg av uavhengige bevegelser langs koordinataksene, og i retning av forskjellige akser kan typen bevegelse variere. I vårt tilfelle kan bevegelsen av flygelegemet være representert som pålegg av to uavhengige bevegelser: en jevn bevegelse langs den horisontale akse (x-aksen) og en likevektsbevegelse langs den vertikale akse (Y-aksen) (figur 1).

Projeksjonen av kroppshastigheten endres derfor over tid som følger:

hvor $ v_0 $ - innledende hastighet, $ (\\ mathbf \\ alpha) $ - kast vinkel.

Med vårt valg av opprinnelsen til koordinatene, de opprinnelige koordinatene (figur 1) $ x_0 \u003d y_0 \u003d 0 $. Så får vi:

(1)

Analysere formel (1). Vi definerer tidspunktet for bevegelse av en forlatt kropp. For å gjøre dette, setter vi koordinatet y lik , fordi På tidspunktet for landing er kroppens høyde null. Herfra får vi for flytid:

Den andre verdien av tiden som høyden er , er , som tilsvarer øyeblikket for å kaste, dvs. Denne verdien har også en fysisk betydning.

Utvalget av flyet er oppnådd fra den første formelen (1). Flyområdet er verdien av koordinatet x på slutten av flyet, dvs. På tide, lik $ t_0 $. Erstatte (2) i den første formelen (1), oppnår vi:

Fra denne formelen er det klart at det høyeste området Flyet oppnås ved verdien av utfordringsvinkelen, tilsvarende 45 grader.

Den største høyden av løftingen av den forlatte kroppen kan fås fra den andre formel (1). For å gjøre dette må vi erstatte verdien av tiden som tilsvarer halvparten av flyetiden (2), fordi Det er i midten av banen, høyden på flyet er maksimum. Beregner, få

Fra ligninger (1) er det mulig å oppnå ligningen av kroppsstien, dvs. Ligningen som forbinder koordinatene til X og legemet under bevegelsen. For dette trenger du fra den første ligningen (1) for å uttrykke tid:

og å erstatte den i den andre ligningen. Så får vi:

Denne ligningen er ligningen av banen av bevegelse. Det kan ses at denne parabolen ligningen ligger på grenene, handler om hva tegnet "-" før kvadratiske vilkårene. Det bør tas i betraktning at den kaste vinkelen på $ \\ alpha $ og dens funksjoner er bare en konstant, dvs. Konstant tall.

Kroppen ble kastet på en hastighet v0 i en vinkel på $ (\\ mathbf \\ alpha) $ til horisonten. Flytiden er $ t \u003d 2 med $. Hvilken høyde HMAX vil stige kroppen?

$$ T_V \u003d 2 med $$$$ H_max -? $$

Kroppsbevegelsen har skjemaet:

$$ \\ venstre \\ (\\ start (array) (c) x \u003d v_ (0x) t \\\\ y \u003d v_ (0y) t-\\ frac (gt ^ 2) (2) \\ slutten (array) \\ rett. $ $.

Den opprinnelige hastighetsvektoren skjemaer med aksen på $ (\\ mathbf \\ alpha) $. Dermed,

\ \ \

Fra toppen av fjellet er det kastet i en vinkel \u003d $ 30 () ^ \\ circ $ til horisonten stein med en innledende hastighet $ v_0 \u003d 6 m / s $. Vinkelen på det skrånende planet \u003d $ 30 () ^ \\ curc $. På hvilken avstand fra punktet med å kaste en stein vil falle?

$$ \\ Alpha \u003d 30 () ^ \\ CIRK $$$$ V_0 \u003d 6 \\ m / s $$ $$ S -? $$

Plasser opprinnelsen til koordinatene til kastepunktet, oh - langs det skrånende flyet ned, Oy - vinkelrett på det skrånende planet. Kinematiske bevegelsesegenskaper:

Bevegelsesloven:

$$ \\ venstre \\ (\\ start (array) (c) x \u003d v_0t (cos 2 \\ alpha + g \\ frac (t ^ 2) (2) (sin \\ alpha \\) \\) \\\\ y \u003d v_0t (sin 2 \\ Alpha \\) - \\ frac (gt ^ 2) (2) (cos \\ alpha \\) \\ end (array) \\ rett. $$ \\

Erstatte verdien oppnådd $ t_v $, finn $ s $:

Inntil slutten av den endelige kampen til Basketball-turneringen til Olympiaden i München, forble 1972 3 sekunder. Amerikanerne - det amerikanske landslaget - allerede i alt feiret seier! Vårt team - USSR National Team - vant ca 10 poeng i Great Dream Team ...

Et par minutter før slutten av kampen. Men i forvirrende i slutten var all den fordel, et punkt allerede dårligere enn 49:50. Så utrolig skjedd! Ivan Eshchko kaster ballen på grunn av frontlinjen over hele plattformen for ringen av amerikanere, hvor vårt sentrum Alexander Belov tar ballen omgitt av to rivaler og investerer det i kurven. 51:50 - Vi er olympiske mestere!

Jeg er da et barn, testet de sterkeste følelsene - første skuffelse og fornærmelse, så gal glede! Emosjonelt minne om denne episoden krasjet inn i min bevissthet for livet! Sjekk ut videoen på Internett på forespørsel fra "Golden Throw av Alexander Belov", du vil ikke angre.

Amerikanerne gjenkjente da ikke nederlag og nektet å skaffe sølvmedaljer. Er det mulig i tre sekunder å gjøre hva våre spillere gjorde? Husk fysikk!

I denne artikkelen vil vi se på bevegelsen av kroppen som er kastet i en vinkel mot horisonten, vil være i Excel et program for å løse dette problemet når forskjellige kombinasjoner Kildedataene og prøv å svare på spørsmålet kjedet ovenfor.

Dette er en ganske kjent oppgave i fysikk. I vårt tilfelle kastet kroppen i en vinkel mot horisonten en basketball. Vi vil beregne den opprinnelige hastigheten, tid og bane av ballen på ballen, forlatt gjennom hele plattformen Ivan Eshchko og som falt i hendene på Alexander Belov.

Matematikk og fysikk av en basketballball.

Formler presentert nedenfor og beregning iutmerke De er universelle for et bredt spekter av oppgaver om organer kastet i en vinkel mot horisonten og flyr gjennom en parabolisk bane uten å ta hensyn til effekten av friksjon om luften.

Den beregnede skjemaet presenteres i figuren under. Kjør MS Excel eller OOO CALC-programmet.

Innledende data:

1. Siden vi er på planeten jorden og vurdere den ballistiske oppgaven - bevegelsen av kroppene i tyngdekraften til jorden, så det første vi vil skrive hovedkarakteristikken til gravitasjonsfeltet - akselerasjon av fritt fall g. i m / s 2

i D3-cellen: 9,81

2. Størrelsen på basketballbanen - 28 meter lengde og 15 meter bredde. Avstanden til ballen er nesten gjennom hele plattformen til ringen fra den motsatte frontlinjen horisontalt x. i meter av

i D4-cellen: 27,000

3. Hvis du aksepterer at Eshshko kastet gjorde om lag to meter fra en høyde, og Belov fanget ballen bare et sted på ringnivået, så med en høyde på basketballringen 3.05 meter, vil avstanden mellom utgangspunkt og ankomst av ballen være vertikalt 1 meter. Vi skriver vertikal bevegelse y. i meter

i D5-cellen: 1,000

4. Ifølge mine målinger på videoopptakshjørne på ballen α 0 Fra hendene på Edshko ikke overstiger 20 °. Vi presenterer denne verdien

i D6-cellen: 20,000

Resultater av beregninger:

De viktigste ligningene som beskriver bevegelsen av kroppen kastet i en vinkel mot horisonten uten å ta hensyn til luftmotstanden:

x. =v 0. * Cos. α 0 * T.

y. =v 0. * SIN. α 0 * T -g * t 2/2

5. Uttrykke tid t. Fra den første ligningen erstatter vi i andre og beregner den første flyselskapet på ballen v. 0 i m / s

i D8-cellen: \u003d (D3 * D4 ^ 2/2 / cos (radianer (D6)) ^ 2 / (D4 * TAN (RADIANS (D6)) -D5)) ^ 0.5 =21,418

v 0. \u003d (G * x 2 / (2 * (cosα 0 ) 2 *(x * tg.α 0 -y)) 0.5

6. Flytid fra hendene på Edshko til hendene på Belova t. På sekunder beregner vi, og vet nå v. 0 , Fra den første ligningen

i D9-cellen: \u003d D4 / D8 / COS (RADIANS (D6)) =1,342

t. = x. /(v. 0 * cos.α 0 )

7. Finn en vinkel på retningen av ballen α JEG. I den banebenet av oss. For dette vil det opprinnelige paret ligninger skrive i følgende skjema:

y. =x * tg.α 0 -g * x 2 / (2 *v 0 2.* (Cos.α 0 ) 2)

Dette er Parabola-ligningen - flybanen.

Vi må finne en vinkel med hellingstangent til Parabola i det punktet du er interessert i - det vil være en vinkel α JEG. . For å gjøre dette, ta et derivat, som er en tangent tangent tangent:

y ' =tg.α 0 -g * x / (v 0 2.* (Cos.α 0 ) 2)

Beregn vinkelen på ankomst av ballen i hendene på Belova α JEG. i grader

i cellen d10: \u003d Atan (TAN (RADIANS (D6)) -D3 * D4 / D8 ^ 2 / COS (RADIANS (D6) ^ 2) / PI () * 180 =-16,167

α JEG. = arktg.y. ’ = arktg.(tg.α 0 — g. * x. /(v. 0 2 *(cos.α 0) 2))

Beregningen i Excel er i prinsippet fullført.

Andre beregninger:

Ved hjelp av det skriftlige programmet kan du raskt og enkelt, med andre kombinasjoner av kildedata, gjøre beregninger.

La, gi horisontal x. = 27 meter , Vertikal y. = 1 meter flyselskap og innledende hastighet v. 0 = 25 m / s.

Krever flytid t. og hjørner av avreise α 0 og ankomst α JEG.

Vi bruker MS Excel Service "utvalg av parameteren". Jeg fortalte gjentatte ganger i flere artikler blogget i detalj hvordan du bruker den. Du kan lese mer om bruken av denne tjenesten.

Installer i D8-celleverdien 25.000 ved å endre valget av verdien i D6-cellen. Resultatet er på bildet nedenfor.

De opprinnelige dataene i denne utførelsen i Excel (som imidlertid og i den forrige) er fremhevet i blå rammer, og resultatene er sirklet med røde rektangulære rammer!

Installere i tabellenutmerke Noen av meningen med en av cellene med lysegul fylling på grunn av valget av den endrede verdien i en av cellene med lys turkis fyll, kan oppnås i det generelle tilfellet forskjellige alternativer Å løse problemet med bevegelsen av kroppen kastet i en vinkel i horisonten på ti forskjellige sett med kildedata!

Svaret på spørsmålet:

Svar på spørsmålet som er gjort i begynnelsen av artikkelen. Ballen sendt av Ivan Edshko, fløy til Belov på våre beregninger for 1.342C. Alexander Belov fanget ballen, landet, hoppet og kastet. På alt dette hadde han "havet" av tid - 1.658C! Dette er virkelig tilstrekkelig med en margin på mengden tid! Detaljert visning av videoopptak bekrefter ovenstående. Våre spillere var nok i tre sekunder å levere ballen fra frontlinjen til leder av rivaler og kaste den inn i ringen, skrive navnene i historien om basketball!

spørre respektfull forfatterens arbeid last ned fil etter abonnement På kunngjøringer av artikler!