Transformasjon av uttrykk som inneholder en rasjonell eksponent. Maktuttrykk (uttrykk med makter) og deres transformasjon. Problemer å løse selvstendig

Uttrykk, uttrykkskonvertering

Maktuttrykk (uttrykk med makter) og deres transformasjon

I denne artikkelen vil vi snakke om å konvertere uttrykk med krefter. Først vil vi fokusere på transformasjoner som utføres med uttrykk av noe slag, inkludert kraftuttrykk, som å åpne parenteser og bringe lignende termer. Og så vil vi analysere transformasjonene som er iboende spesifikt i uttrykk med grader: arbeide med basen og eksponenten, bruke egenskapene til grader, etc.

Sidenavigering.

Hva er maktuttrykk?

Begrepet "maktuttrykk" forekommer praktisk talt ikke i lærebøker om matematikk i skolen, men det forekommer ganske ofte i oppgavesamlinger, spesielt de som er beregnet på forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam, for eksempel. Etter å ha analysert oppgavene der det er nødvendig å utføre eventuelle handlinger med maktuttrykk, blir det klart at maktuttrykk forstås som uttrykk som inneholder makter i sine oppføringer. Derfor kan du godta følgende definisjon for deg selv:

Definisjon.

Maktuttrykk er uttrykk som inneholder grader.

La oss gi eksempler på maktuttrykk. Videre vil vi presentere dem etter hvordan utviklingen av synspunkter på fra en grad med naturlig eksponent til en grad med reell eksponent skjer.

Som kjent blir man først kjent med potensen til et tall med en naturlig eksponent på dette stadiet, de første enkleste potensuttrykkene av typen 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 vises −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Litt senere studeres potensen til et tall med en heltallseksponent, noe som fører til utseendet til potensuttrykk med negative heltallskrefter, som følgende: 3 −2, , a -2 +2 b -3 +c2.

På videregående går de tilbake til grader. Der introduseres en grad med en rasjonell eksponent, som innebærer utseendet til de tilsvarende kraftuttrykkene: , , og så videre. Til slutt vurderes grader med irrasjonelle eksponenter og uttrykk som inneholder dem: , .

Saken er ikke begrenset til de listede potensuttrykkene: videre trenger variabelen inn i eksponenten, og for eksempel oppstår følgende uttrykk: 2 x 2 +1 eller . Og etter å ha blitt kjent med , begynner uttrykk med potenser og logaritmer å dukke opp, for eksempel x 2·lgx −5·x lgx.

Så vi har behandlet spørsmålet om hva maktuttrykk representerer. Deretter vil vi lære å forvandle dem.

Grunnleggende typer transformasjoner av maktuttrykk

Med maktuttrykk kan du utføre hvilken som helst av de grunnleggende identitetstransformasjonene til uttrykk. Du kan for eksempel åpne parenteser, erstatte numeriske uttrykk med verdiene deres, legge til lignende termer osv. Naturligvis, i dette tilfellet, er det nødvendig å følge den aksepterte prosedyren for å utføre handlinger. La oss gi eksempler.

Eksempel.

Regn ut verdien av potensuttrykket 2 3 ·(4 2 −12) .

Løsning.

I henhold til rekkefølgen for utførelse av handlinger, utfør først handlingene i parentes. Der erstatter vi for det første potensen 4 2 med dens verdi 16 (om nødvendig, se), og for det andre beregner vi differansen 16−12=4. Vi har 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

I det resulterende uttrykket erstatter vi potensen 2 3 med verdien 8, hvoretter vi beregner produktet 8·4=32. Dette er ønsket verdi.

Så, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Svar:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Eksempel.

Forenkle uttrykk med krefter 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Løsning.

Det er klart at dette uttrykket inneholder lignende termer 3·a 4 ·b −7 og 2·a 4 ·b −7 , og vi kan presentere dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Eksempel.

Uttrykk et uttrykk med krefter som et produkt.

Løsning.

Du kan takle oppgaven ved å representere tallet 9 som en potens av 3 2 og deretter bruke formelen for forkortet multiplikasjon - kvadratforskjell:

Svar:

Det er også en rekke identiske transformasjoner iboende spesifikt i maktuttrykk. Vi vil analysere dem videre.

Arbeid med base og eksponent

Det er grader hvis base og/eller eksponent ikke bare er tall eller variabler, men noen uttrykk. Som et eksempel gir vi oppføringene (2+0,3·7) 5−3,7 og (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Når du arbeider med slike uttrykk, kan du erstatte både uttrykket i gradens basis og uttrykket i eksponenten med et identisk likt uttrykk i ODZ av variablene. Med andre ord, i henhold til reglene som er kjent for oss, kan vi separat transformere gradens basis og eksponenten separat. Det er klart at som et resultat av denne transformasjonen vil det oppnås et uttrykk som er identisk likt det opprinnelige.

Slike transformasjoner lar oss forenkle uttrykk med krefter eller oppnå andre mål vi trenger. For eksempel, i potensuttrykket nevnt ovenfor (2+0,3 7) 5−3,7, kan du utføre operasjoner med tallene i grunntallet og eksponenten, som lar deg gå til potensen 4,1 1,3. Og etter å ha åpnet parentesene og ført lignende ledd til grunnen av graden (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), får vi et potensuttrykk av en enklere form a 2·(x+ 1) .

Bruke gradsegenskaper

Et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med krefter er likheter som reflekterer . La oss huske de viktigste. For alle positive tall a og b og vilkårlige reelle tall r og s, er følgende egenskaper til potenser sanne:

• a r ·a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s;
• (a·b) r =a r ·b r;
• (a:b) r =a r:b r;
• (a r) s =a r·s .

Legg merke til at for naturlige, heltalls- og positive eksponenter kan det hende at begrensningene for tallene a og b ikke er så strenge. For eksempel, for naturlige tall m og n gjelder likheten a m ·a n =a m+n ikke bare for positive a, men også for negative, og for a=0.

På skolen, når du transformerer kraftuttrykk, er hovedfokuset på evnen til å velge riktig egenskap og bruke den riktig. I dette tilfellet er grunnene til grader vanligvis positive, noe som gjør at egenskapene til grader kan brukes uten begrensninger. Det samme gjelder for transformasjon av uttrykk som inneholder variabler i potensenes baser - rekkevidden av tillatte verdier for variabler er vanligvis slik at basene bare tar positive verdier på den, noe som lar deg fritt bruke egenskapene til potenser . Generelt må du hele tiden spørre deg selv om det er mulig å bruke en hvilken som helst egenskap av grader i dette tilfellet, fordi unøyaktig bruk av eiendommer kan føre til en innsnevring av den pedagogiske verdien og andre problemer. Disse punktene diskuteres i detalj og med eksempler i artikkelen transformasjon av uttrykk ved bruk av egenskaper til grader. Her skal vi begrense oss til å vurdere noen få enkle eksempler.

Eksempel.

Uttrykk uttrykket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som potens med grunntall a.

Løsning.

Først transformerer vi den andre faktoren (a 2) −3 ved å bruke egenskapen til å heve en potens til en potens: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Det opprinnelige kraftuttrykket vil ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Åpenbart gjenstår det å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme base, vi har
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Egenskaper til potenser ved transformering av kraftuttrykk brukes både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre.

Eksempel.

Finn verdien av kraftuttrykket.

Løsning.

Likheten (a·b) r =a r ·b r, brukt fra høyre til venstre, lar oss bevege oss fra det opprinnelige uttrykket til et produkt av formen og videre. Og når du multipliserer potenser med de samme basene, summeres eksponentene: .

Det var mulig å transformere det opprinnelige uttrykket på en annen måte:

Svar:

.

Eksempel.

Gitt potensuttrykket a 1,5 −a 0,5 −6, introduser en ny variabel t=a 0,5.

Løsning.

Graden a 1,5 kan representeres som en 0,5 3 og deretter, basert på egenskapen til graden til graden (a r) s =a r s, brukt fra høyre til venstre, transformere den til formen (a 0,5) 3. Dermed, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nå er det enkelt å introdusere en ny variabel t=a 0,5, vi får t 3 −t−6.

Svar:

t 3 −t−6 .

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Potensuttrykk kan inneholde eller representere brøker med potenser. Enhver av de grunnleggende transformasjonene av fraksjoner som er iboende i fraksjoner av noe slag, er fullt anvendelige for slike fraksjoner. Det vil si at brøker som inneholder potenser kan reduseres, reduseres til en ny nevner, arbeides separat med telleren og separat med nevneren osv. For å illustrere disse ordene, vurder løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk .

Løsning.

Dette kraftuttrykket er en brøkdel. La oss jobbe med telleren og nevneren. I telleren åpner vi parentesene og forenkler det resulterende uttrykket ved å bruke egenskapene til potenser, og i nevneren presenterer vi lignende termer:

Og la oss også endre fortegnet til nevneren ved å sette et minus foran brøken: .

Svar:

.

Å redusere brøker som inneholder potenser til en ny nevner utføres på samme måte som å redusere rasjonelle brøker til en ny nevner. I dette tilfellet finner man også en tilleggsfaktor, og telleren og nevneren til brøken multipliseres med den. Når du utfører denne handlingen, er det verdt å huske at reduksjon til en ny nevner kan føre til en innsnevring av VA. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig at tilleggsfaktoren ikke går til null for noen verdier av variablene fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Reduser brøkene til en ny nevner: a) til nevner a, b) til nevneren.

Løsning.

a) I dette tilfellet er det ganske enkelt å finne ut hvilken ekstra multiplikator som bidrar til å oppnå ønsket resultat. Dette er en multiplikator på 0,3, siden a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Legg merke til at i området av tillatte verdier for variabelen a (dette er settet av alle positive reelle tall), forsvinner ikke kraften til en 0,3, derfor har vi rett til å multiplisere telleren og nevneren til en gitt brøk med denne tilleggsfaktoren:

b) Hvis du ser nærmere på nevneren, kan du finne det

og multiplisere dette uttrykket med vil gi summen av terninger og , det vil si . Og dette er den nye nevneren som vi må redusere den opprinnelige brøken til.

Slik fant vi en tilleggsfaktor. I området av tillatte verdier for variablene x og y forsvinner ikke uttrykket, derfor kan vi multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:

Svar:

EN) , b) .

Det er heller ikke noe nytt i å redusere brøker som inneholder potenser: telleren og nevneren er representert som en rekke faktorer, og de samme faktorene til telleren og nevneren reduseres.

Eksempel.

Reduser brøken: a) , b) .

Løsning.

a) For det første kan telleren og nevneren reduseres med tallene 30 og 45, som er lik 15. Det er også åpenbart mulig å utføre en reduksjon med x 0,5 +1 og med . Her er hva vi har:

b) I dette tilfellet er ikke identiske faktorer i telleren og nevneren umiddelbart synlige. For å få dem, må du utføre foreløpige transformasjoner. I dette tilfellet består de i å faktorisere nevneren ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

Svar:

EN)

b) .

Å konvertere brøker til en ny nevner og redusere brøker brukes hovedsakelig til å gjøre ting med brøker. Handlinger utføres i henhold til kjente regler. Når man legger til (trekker fra) brøker, reduseres de til en fellesnevner, hvoretter tellerne adderes (trekkes fra), men nevneren forblir den samme. Resultatet er en brøk hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne. Divisjon med en brøk er multiplikasjon med dens invers.

Eksempel.

Følg stegene .

Løsning.

Først trekker vi fra brøkene i parentes. For å gjøre dette bringer vi dem til en fellesnevner, som er , hvoretter vi trekker fra tellerne:

Nå multipliserer vi brøkene:

Åpenbart er det mulig å redusere med en potens på x 1/2, hvoretter vi har .

Du kan også forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen: .

Svar:

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykket .

Løsning.

Tydeligvis kan denne brøken reduseres med (x 2,7 +1) 2, dette gir brøken . Det er klart at noe annet må gjøres med kreftene til X. For å gjøre dette transformerer vi den resulterende fraksjonen til et produkt. Dette gir oss muligheten til å dra nytte av egenskapen til å dele makter med samme grunnlag: . Og på slutten av prosessen går vi fra det siste produktet til brøken.

Svar:

.

Og la oss også legge til at det er mulig, og i mange tilfeller ønskelig, å overføre faktorer med negative eksponenter fra telleren til nevneren eller fra nevneren til telleren, og endre eksponentens fortegn. Slike transformasjoner forenkler ofte videre handlinger. For eksempel kan et potensuttrykk erstattes med .

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

Ofte, i uttrykk der det kreves noen transformasjoner, er røtter med brøkeksponenter også til stede sammen med potenser. For å transformere et slikt uttrykk til ønsket form, er det i de fleste tilfeller nok å gå bare til røtter eller bare til makter. Men siden det er mer praktisk å jobbe med krefter, beveger de seg vanligvis fra røtter til krefter. Det er imidlertid tilrådelig å utføre en slik overgang når ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med potenser uten å måtte referere til modulen eller dele ODZ i flere intervaller (vi diskuterte dette i detalj i artikkelen overgang fra røtter til potenser og tilbake Etter å ha blitt kjent med graden med en rasjonell eksponent, introduseres en grad med en irrasjonell eksponent, som lar oss snakke om en grad med en vilkårlig reell eksponent studerte på skolen. eksponentiell funksjon, som er analytisk gitt av en potens, hvis basis er et tall, og eksponenten er en variabel. Så vi står overfor potensuttrykk som inneholder tall i potensens basis, og i eksponenten - uttrykk med variabler, og naturlig nok oppstår behovet for å utføre transformasjoner av slike uttrykk.

Det skal sies at transformasjonen av uttrykk av den angitte typen vanligvis må utføres ved løsning eksponentielle ligninger Og eksponentielle ulikheter, og disse konverteringene er ganske enkle. I det overveldende flertallet av tilfellene er de basert på gradens egenskaper og er for det meste rettet mot å introdusere en ny variabel i fremtiden. Ligningen vil tillate oss å demonstrere dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

For det første erstattes potenser, i hvis eksponenter er summen av en viss variabel (eller uttrykk med variabler) og et tall, med produkter. Dette gjelder det første og siste leddet i uttrykket på venstre side:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Deretter blir begge sider av likheten delt med uttrykket 7 2 x, som på ODZ av variabelen x for den opprinnelige ligningen tar bare positive verdier (dette er en standardteknikk for å løse ligninger av denne typen, vi er ikke snakker om det nå, så fokuser på påfølgende transformasjoner av uttrykk med krefter ):

Nå kan vi annullere brøker med potenser, som gir .

Til slutt er forholdet mellom potenser med de samme eksponentene erstattet med potenser av relasjoner, noe som resulterer i ligningen , som tilsvarer . Transformasjonene som er gjort tillater oss å introdusere en ny variabel, som reduserer løsningen av den opprinnelige eksponentialligningen til løsningen av en andregradsligning

Seksjoner: Matematikk

Klasse: 9

MÅL: Å konsolidere og forbedre ferdighetene til å anvende egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent; utvikle ferdigheter i å utføre enkle transformasjoner av uttrykk som inneholder potenser med en brøkeksponent.

TYPE LEKSJON: leksjon om å konsolidere og anvende kunnskap om dette emnet.

LÆREBOK: Algebra 9 utg. S.A. Teljakovskij.

UNDER KLASSENE

Lærerens åpningstale

"Folk som ikke er kjent med algebra kan ikke forestille seg de fantastiske tingene som kan oppnås ... ved hjelp av denne vitenskapen." G.V. Leibniz

Algebra åpner dørene til laboratoriekomplekset for oss "En grad med en rasjonell eksponent."

1. Frontalundersøkelse

1) Gi definisjonen av en grad med en brøkeksponent.

2) For hvilken brøkeksponent er en grad med base lik null definert?

3) Vil graden bestemmes med en brøkeksponent for en negativ base?

Oppgave: Se for deg tallet 64 som en potens med grunntall - 2; 2; 8.

Terningen av hvilket tall er 64?

Finnes det en annen måte å representere tallet 64 på som en potens med en rasjonell eksponent?

2. Arbeid i grupper

1 gruppe. Bevis at uttrykkene (-2) 3/4 ; 0 -2 gir ikke mening.

2. gruppe. Se for deg en potens med en brøkeksponent i form av en rot: 2 2/3; 3 -1|3; -i 1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .

3. gruppe. Presenteres som en potens med en brøkeksponent: v3; 8 va 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3; vvv.

3. La oss gå videre til laboratoriet "Action on powers"

Hyppige gjester på laboratoriet er astronomer. De tar med sine "astronomiske tall", utsetter dem for algebraisk prosessering og får nyttige resultater

For eksempel er avstanden fra Jorden til Andromedatåken uttrykt med tallet

950000000000000000000 = 95 10 18 km;

det heter kvintillion.

Solens masse i gram uttrykkes med tallet 1983 10 30 g - nonnalion.

I tillegg står laboratoriet overfor andre alvorlige oppgaver. For eksempel problemet med å beregne uttrykk som:

A) ; b) ; V).

Laboratoriepersonalet utfører slike beregninger på den mest praktiske måten.

Du kan koble til jobb. For å gjøre dette, la oss gjenta egenskapene til potenser med rasjonelle eksponenter:

Evaluer eller forenkle uttrykket ved å bruke egenskapene til potenser med rasjonelle eksponenter:

1. gruppe:

Gruppe 2:

Gruppe 3:

Sjekk: én person fra gruppen ved tavlen.

4. Sammenligningsoppgave

Hvordan kan vi sammenligne uttrykkene 2 100 og 10 30 ved å bruke egenskapene til potenser?

Svar:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Og nå inviterer jeg deg til "Research of Degrees"-laboratoriet.

Hvilke transformasjoner kan vi utføre på krefter?

1) Tenk deg tallet 3 som en potens med eksponent 2; 3; -1.

2) Hvordan kan uttrykk a-c faktoriseres? i + i 1/2; a-2a 1/2; 2'er 2?

3) Reduser brøken etterfulgt av gjensidig verifisering:

4) Forklar transformasjonene som er utført og finn betydningen av uttrykket:

6. Arbeid med læreboka. nr. 611(g, d, f).

Gruppe 1: (d).

Gruppe 2: (d).

Gruppe 3: (e).

nr. 629 (a, b).

Fagfellevurdering.

7. Vi gjennomfører en workshop (selvstendig arbeid).

Gitt uttrykk:

Når man reduserer hvilke brøker er forkortede multiplikasjonsformler og setter fellesfaktoren utenfor parentes?

Gruppe 1: nr. 1, 2, 3.

Gruppe 2: nr. 4, 5, 6.

Gruppe 3: nr. 7, 8, 9.

Når du fullfører oppgaven, kan du bruke anbefalinger.

1. Hvis eksempeloppføringen inneholder begge potenser med en rasjonell eksponent og n'te røtter grader, og skriv deretter ned røttene n. grad i form av potenser med en rasjonell eksponent.
2. Prøv å forenkle uttrykket du opererer på: åpne parenteser ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen, gå fra en potens med negativ eksponent til et uttrykk som inneholder potenser med positiv eksponent.
3. Bestem rekkefølgen handlingene skal utføres i.
4. Fullfør trinnene i den rekkefølgen de utføres.

Læreren evaluerer etter å ha samlet notatbøkene.

8. Hjemmelekser: № 624, 623.

La oss vurdere temaet transformasjon av uttrykk med makter, men la oss først dvele ved en rekke transformasjoner som kan utføres med alle uttrykk, inkludert kraftuttrykk. Vi skal lære å åpne parenteser, legge til lignende termer, arbeide med baser og eksponenter, og bruke egenskapene til potenser.

Hva er maktuttrykk?

På skolekurs er det få som bruker uttrykket "kraftige uttrykk", men dette begrepet finnes stadig i samlinger for forberedelse til Unified State Exam. I de fleste tilfeller angir en frase uttrykk som inneholder grader i oppføringene. Det er dette vi vil reflektere i vår definisjon.

Definisjon 1

Kraftuttrykk er et uttrykk som inneholder krefter.

La oss gi flere eksempler på potensuttrykk, som starter med en potens med en naturlig eksponent og slutter med en potens med en reell eksponent.

De enkleste potensuttrykkene kan betraktes som potenser av et tall med en naturlig eksponent: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Og potenser med null eksponent: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Og potenser med negative heltallspotenser: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Det er litt vanskeligere å jobbe med en grad som har rasjonelle og irrasjonelle eksponenter: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatoren kan være variabelen 3 x - 54 - 7 3 x - 58 eller logaritmen x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Vi har behandlet spørsmålet om hva maktuttrykk er. La oss nå begynne å konvertere dem.

Grunnleggende typer transformasjoner av maktuttrykk

Først og fremst skal vi se på de grunnleggende identitetstransformasjonene av uttrykk som kan utføres med maktuttrykk.

Eksempel 1

Regn ut verdien av et kraftuttrykk 2 3 (4 2 - 12).

Løsning

Vi vil utføre alle transformasjoner i samsvar med handlingsrekkefølgen. I dette tilfellet vil vi starte med å utføre handlingene i parentes: vi vil erstatte graden med en digital verdi og beregne forskjellen på to tall. Vi har 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Alt vi trenger å gjøre er å erstatte graden 2 3 dets mening 8 og beregne produktet 8 4 = 32. Her er svaret vårt.

Svar: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Eksempel 2

Forenkle uttrykket med krefter 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Løsning

Uttrykket gitt til oss i problemstillingen inneholder lignende termer som vi kan gi: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Svar: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Eksempel 3

Uttrykk uttrykket med potensene 9 - b 3 · π - 1 2 som et produkt.

Løsning

La oss forestille oss tallet 9 som en kraft 3 2 og bruk den forkortede multiplikasjonsformelen:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Svar: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

La oss nå gå videre til analysen av identitetstransformasjoner som kan brukes spesifikt på maktuttrykk.

Arbeid med base og eksponent

Graden i grunntallet eller eksponenten kan ha tall, variabler og noen uttrykk. For eksempel, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Og . Å jobbe med slike poster er vanskelig. Det er mye lettere å erstatte uttrykket i gradens basis eller uttrykket i eksponenten med et identisk likt uttrykk.

Transformasjoner av grad og eksponent utføres i henhold til reglene kjent for oss separat fra hverandre. Det viktigste er at transformasjonen resulterer i et uttrykk identisk med det opprinnelige.

Hensikten med transformasjoner er å forenkle det opprinnelige uttrykket eller få en løsning på problemet. For eksempel, i eksemplet vi ga ovenfor, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 kan du følge trinnene for å flytte til graden 4 , 1 1 , 3 . Ved å åpne parentesene kan vi presentere lignende termer som potensens base (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) og få et kraftuttrykk av en enklere form a 2 (x + 1).

Bruke gradsegenskaper

Maktens egenskaper, skrevet i form av likheter, er et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med makt. Vi presenterer her de viktigste, med tanke på det en Og b er eventuelle positive tall, og r Og s- vilkårlige reelle tall:

Definisjon 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

I tilfeller hvor vi har å gjøre med naturlige, heltall, positive eksponenter, kan begrensningene for tallene a og b være mye mindre strenge. Så for eksempel hvis vi vurderer likestillingen a m · a n = a m + n, Hvor m Og n er naturlige tall, vil det være sant for alle verdier av a, både positive og negative, så vel som for a = 0.

Egenskapene til potenser kan brukes uten begrensninger i tilfeller der potensenes base er positive eller inneholder variabler hvis rekkevidde av tillatte verdier er slik at basene bare tar positive verdier på den. Faktisk innenfor skolepensum i matematikk er elevens oppgave å velge en passende egenskap og bruke den riktig.

Når du forbereder deg på å gå inn på universiteter, kan du støte på problemer der unøyaktig bruk av egenskaper vil føre til en innsnevring av DL og andre problemer med å løse. I denne delen skal vi bare undersøke to slike tilfeller. Mer informasjon om emnet finner du i emnet "Konvertering av uttrykk ved bruk av egenskaper til potenser."

Eksempel 4

Tenk deg uttrykket a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 i form av en potens med base en.

Løsning

Først bruker vi egenskapen til eksponentiering og transformerer den andre faktoren ved å bruke den (a 2) − 3. Deretter bruker vi egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Svar: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformasjon av maktuttrykk i henhold til maktens egenskap kan gjøres både fra venstre til høyre og i motsatt retning.

Eksempel 5

Finn verdien av potensuttrykket 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Løsning

Hvis vi anvender likestilling (a · b) r = a r · b r, fra høyre til venstre får vi et produkt av formen 3 · 7 1 3 · 21 2 3 og deretter 21 1 3 · 21 2 3 . La oss legge til eksponentene når vi multipliserer potenser med de samme grunnene: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Det er en annen måte å utføre transformasjonen på:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Svar: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Eksempel 6

Gitt et kraftuttrykk a 1, 5 − a 0, 5 − 6, skriv inn en ny variabel t = a 0,5.

Løsning

La oss forestille oss graden en 1, 5 Hvordan en 0,5 3. Bruke egenskapen grader til grader (a r) s = a r · s fra høyre til venstre og vi får (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Du kan enkelt introdusere en ny variabel i det resulterende uttrykket t = a 0,5: vi får t 3 − t − 6.

Svar: t 3 − t − 6.

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Vi tar vanligvis for oss to versjoner av potensuttrykk med brøk: uttrykket representerer en brøk med potens eller inneholder en slik brøk. Alle grunnleggende transformasjoner av brøker gjelder for slike uttrykk uten begrensninger. De kan reduseres, bringes til en ny nevner, eller arbeides separat med teller og nevner. La oss illustrere dette med eksempler.

Eksempel 7

Forenkle kraftuttrykket 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Løsning

Vi har å gjøre med en brøk, så vi vil utføre transformasjoner i både telleren og nevneren:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Plasser et minustegn foran brøken for å endre fortegnet på nevneren: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Svar: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brøker som inneholder potenser reduseres til en ny nevner på samme måte som rasjonelle brøker. For å gjøre dette, må du finne en tilleggsfaktor og multiplisere telleren og nevneren til brøken med den. Det er nødvendig å velge en tilleggsfaktor på en slik måte at den ikke går til null for noen verdier av variabler fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel 8

Reduser brøkene til en ny nevner: a) a + 1 a 0, 7 til nevneren en, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 til nevneren x + 8 · y 1 2 .

Løsning

a) La oss velge en faktor som lar oss redusere til en ny nevner. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, derfor, som en tilleggsfaktor vi vil ta en 0, 3. Utvalget av tillatte verdier for variabelen a inkluderer settet med alle positive reelle tall. Grad i dette feltet en 0, 3 går ikke i null.

La oss gange telleren og nevneren til en brøk med en 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) La oss ta hensyn til nevneren:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

La oss multiplisere dette uttrykket med x 1 3 + 2 · y 1 6, vi får summen av kubene x 1 3 og 2 · y 1 6, dvs. x + 8 · y 1 2 . Dette er vår nye nevner som vi må redusere den opprinnelige brøken til.

Slik fant vi tilleggsfaktoren x 1 3 + 2 · y 1 6 . På rekkevidden av tillatte verdier av variabler x Og y uttrykket x 1 3 + 2 y 1 6 forsvinner ikke, derfor kan vi multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Svar: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Eksempel 9

Reduser brøken: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Løsning

a) Vi bruker den største fellesnevneren (GCD), som vi kan redusere telleren og nevneren med. For nummer 30 og 45 er det 15. Vi kan også gjøre en reduksjon pr x0,5+1 og på x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Vi får:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Her er tilstedeværelsen av identiske faktorer ikke åpenbar. Du må utføre noen transformasjoner for å få de samme faktorene i telleren og nevneren. For å gjøre dette utvider vi nevneren ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Svar: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Grunnleggende operasjoner med brøker inkluderer å konvertere brøker til en ny nevner og redusere brøker. Begge handlingene utføres i samsvar med en rekke regler. Ved addisjon og subtraksjon av brøker reduseres først brøkene til en fellesnevner, hvoretter operasjoner (addisjon eller subtraksjon) utføres med tellerne. Nevneren forblir den samme. Resultatet av våre handlinger er en ny brøk, hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne.

Eksempel 10

Utfør trinnene x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

Løsning

La oss starte med å trekke fra brøkene som står i parentes. La oss bringe dem til en fellesnevner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

La oss trekke fra tellerne:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nå multipliserer vi brøkene:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

La oss redusere med en kraft x 1 2, får vi 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

I tillegg kan du forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadrater: kvadrater: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Svar: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Eksempel 11

Forenkle kraftlovuttrykket x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Løsning

Vi kan redusere brøken med (x 2, 7 + 1) 2. Vi får brøken x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

La oss fortsette å transformere potensene til x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Nå kan du bruke egenskapen til å dele potenser med de samme grunnene: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Vi går fra det siste produktet til brøken x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Svar: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

I de fleste tilfeller er det mer praktisk å overføre faktorer med negative eksponenter fra telleren til nevneren og tilbake, og endre fortegnet til eksponenten. Denne handlingen lar deg forenkle den videre avgjørelsen. La oss gi et eksempel: potensuttrykket (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kan erstattes med x 3 · (x + 1) 0, 2.

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

I problemer er det potensuttrykk som inneholder ikke bare potenser med brøkeksponenter, men også røtter. Det er tilrådelig å redusere slike uttrykk bare til røtter eller kun til makter. Å gå for grader er å foretrekke da de er lettere å jobbe med. Denne overgangen er spesielt å foretrekke når ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med potenser uten å måtte få tilgang til modulen eller dele ODZ i flere intervaller.

Eksempel 12

Uttrykk uttrykket x 1 9 · x · x 3 6 som potens.

Løsning

Område for tillatte variabelverdier x er definert av to ulikheter x ≥ 0 og x x 3 ≥ 0, som definerer settet [ 0 , + ∞) .

På dette settet har vi rett til å flytte fra røtter til makter:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Ved å bruke egenskapene til potenser forenkler vi det resulterende kraftuttrykket.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Svar: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Konvertering av potenser med variabler i eksponenten

Disse transformasjonene er ganske enkle å gjøre hvis du bruker gradens egenskaper riktig. For eksempel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Vi kan erstatte med produktet av potenser, hvis eksponenter er summen av en variabel og et tall. På venstre side kan dette gjøres med første og siste ledd på venstre side av uttrykket:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

La oss nå dele begge sider av likheten med 7 2 x. Dette uttrykket for variabelen x tar bare positive verdier:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

La oss redusere brøker med potenser, vi får: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Til slutt er forholdet mellom potenser med de samme eksponentene erstattet med potenser av forhold, noe som resulterer i ligningen 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, som tilsvarer 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

La oss introdusere en ny variabel t = 5 7 x, som reduserer løsningen av den opprinnelige eksponentialligningen til løsningen av andregradsligningen 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Konvertering av uttrykk med potenser og logaritmer

Uttrykk som inneholder potenser og logaritmer finnes også i oppgaver. Et eksempel på slike uttrykk er: 1 4 1 - 5 · log 2 3 eller log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformasjonen av slike uttrykk utføres ved å bruke tilnærmingene og egenskapene til logaritmer diskutert ovenfor, som vi diskuterte i detalj i emnet "Transformasjon av logaritmiske uttrykk".

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Emne: " Konvertering av uttrykk som inneholder potenser med en brøkeksponent"

"La noen prøve å eliminere grader fra matematikk, og han vil se at uten dem kommer du ikke langt." (M.V. Lomonosov)

Leksjonens mål:

pedagogisk: oppsummere og systematisere studentenes kunnskap om emnet "Grad med en rasjonell indikator" overvåke nivået av mestring av materialet;

utvikle: utvikle elevenes selvkontrollferdigheter, skape en atmosfære av interesse for hver elev i arbeidet deres, utvikle elevenes kognitive aktivitet;

pedagogisk: dyrke interessen for faget, for matematikkens historie.

Leksjonstype: leksjon om generalisering og systematisering av kunnskap

Utstyr: vurderingsark, kort med oppgaver, dekodere, kryssord til hver elev.

Foreløpig forberedelse: klassen er delt inn i grupper, i hver gruppe er lederen konsulent.

UNDER KLASSENE

JEG. Organisering av tid.

Lærer: Vi er ferdige med å studere emnet "En kraft med en rasjonell eksponent og dens egenskaper." Din oppgave i denne leksjonen er å vise hvordan du mestrer materialet du har studert og hvordan du kan bruke den tilegnete kunnskapen til å løse spesifikke problemer. Hver av dere har et resultatark på skrivebordet. I den vil du legge inn vurderingen din for hvert trinn i leksjonen. På slutten av timen vil du gi en gjennomsnittlig poengsum for timen.

Evalueringspapir

II. Sjekker lekser.

Kollegakontroll med blyant i hånden, svarene leses opp av elevene.

III. Oppdatering av elevenes kunnskap.

Lærer: Den berømte franske forfatteren Anatole France sa en gang: "Læring må være morsomt... For å absorbere kunnskap, må du absorbere den med appetitt."

La oss gjenta den nødvendige teoretiske informasjonen mens vi løser kryssordet.

Horisontalt:

1. Handlingen som verdien av graden beregnes med (konstruksjon).

2. Produkt som består av identiske faktorer (grad).

3. Handlingen til eksponenter når man hever en potens til en potens (arbeid).

4. Effekten av grader der eksponenter av grader trekkes fra (inndeling).

Vertikalt:

5. Antall alle identiske faktorer (indeks).

6. Grad med null indeks (enhet).

7. Repeterende multiplikator (utgangspunkt).

8. Verdi av 10 5: (2 3 5 5) (fire).

9. En eksponent som vanligvis ikke skrives (enhet).

IV. Matematisk oppvarming.

Lærer. La oss gjenta definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent og dens egenskaper, og fullføre følgende oppgaver.

1. Presenter uttrykket x 22 som et produkt av to potenser med grunntallet x, hvis en av faktorene er lik: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Forenkle:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) fra 1,4 fra -0,3 fra 2,9

3. Regn ut og komponer ordet ved hjelp av en dekoder.

Etter å ha fullført denne oppgaven, vil dere finne ut navnet på den tyske matematikeren som introduserte begrepet "eksponent".

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Ord: 1234567 (Shtifel)

V. Skriftlig arbeid i notatbøker (svar åpnes på tavlen) .

Oppgaver:

1. Forenkle uttrykket:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Finn verdien til uttrykket:

(x 3\8 x 1\4:) 4 ved x=81

VI. Arbeid i grupper.

Trening. Løs ligninger og form ord ved hjelp av en dekoder.

Kort nr. 1

Ord: 1234567 (Diophantus)

Kort nr. 2

Kort nr. 3

Ord: 123451 (Newton)

Dekoder

Lærer. Alle disse forskerne bidro til utviklingen av konseptet "grad".

VII. Historisk informasjon om utviklingen av gradsbegrepet (studentmelding).

Konseptet med en grad med en naturlig indikator ble dannet blant eldgamle folk. Kvadrat- og terningtall ble brukt til å beregne arealer og volumer. Kraftene til noen tall ble brukt til å løse visse problemer av forskere fra det gamle Egypt og Babylon.

På 300-tallet ble boken til den greske forskeren Diophantus "Aritmetikk" publisert, som la grunnlaget for introduksjonen av bokstavsymboler. Diophantus introduserer symboler for de første seks kreftene til det ukjente og deres gjensidige. I denne boken er en firkant betegnet med et skilt med r; kube – tegn k med indeks r osv.

Fra praksisen med å løse mer komplekse algebraiske problemer og operere med grader, oppsto behovet for å generalisere gradbegrepet og utvide det ved å introdusere null, negative og brøktall som eksponent. Matematikere kom til ideen om å generalisere begrepet grad til en viss grad med en ikke-naturlig eksponent gradvis.

Brøkeksponenter og de fleste enkle regler operasjoner på potenser med brøkeksponenter finnes hos den franske matematikeren Nicholas Oresme (1323–1382) i hans verk "Algorithm of Proportions".

Likheten, en 0 =1 (for og ikke lik 0) ble brukt i hans arbeider på begynnelsen av 1400-tallet av Samarkand-forskeren Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Uavhengig ble nullindikatoren introdusert av Nikolai Schuke på 1400-tallet. Det er kjent at Nicholas Shuquet (1445–1500) vurderte grader med negative og null eksponenter.

Senere finnes brøkeksponenter og negative eksponenter i «Complete Arithmetic» (1544) av den tyske matematikeren M. Stiefel og i Simon Stevin. Simon Stevin foreslo at en 1/n er ment å være en rot.

Den tyske matematikeren M. Stiefel (1487–1567) ga definisjonen av en 0 = 1 at og introduserte navnet eksponent (dette er en bokstavelig oversettelse fra tysk eksponent). Den tyske potenzieren betyr å heve til en makt.

På slutten av 1500-tallet introduserte François Viète bokstaver for å betegne ikke bare variabler, men også koeffisientene deres. Han brukte forkortelser: N, Q, C - for første, andre og tredje grad. Men moderne notasjoner (som en 4, en 5) ble introdusert på 1600-tallet av Rene Descartes.

Moderne definisjoner og notasjoner for potenser med null, negative og brøkeksponenter stammer fra arbeidet til engelske matematikere John Wallis (1616–1703) og Isaac Newton (1643–1727).

Det tilrådelige med å introdusere null, negative og brøkeksponenter og moderne symboler ble først skrevet i detalj i 1665 av den engelske matematikeren John Wallis. Arbeidet hans ble fullført av Isaac Newton, som begynte å systematisk bruke nye symboler, hvoretter de gikk i generell bruk.

Innføringen av en grad med en rasjonell eksponent er ett av mange eksempler på generalisering av begrepene matematisk handling. En grad med null-, negativ- og brøkeksponenter er definert på en slik måte at de samme handlingsregler brukes på den som for en grad med naturlig eksponent, dvs. slik at de grunnleggende egenskapene til det opprinnelig definerte gradsbegrepet bevares.

Den nye definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent er ikke i strid med den gamle definisjonen av en grad med en naturlig eksponent, det vil si at betydningen av den nye definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent forblir den samme for det spesielle tilfellet av en grad med en naturlig eksponent. Dette prinsippet, observert når man generaliserer matematiske begreper, kalles prinsippet om varighet (bevaring av konstans). Den ble uttrykt i en ufullkommen form i 1830 av den engelske matematikeren J. Peacock, og den ble fullt og tydelig etablert av den tyske matematikeren G. Hankel i 1867.

VIII. Sjekk deg selv.

Selvstendig arbeid på kort (svar avsløres på tavlen) .

valg 1

1. Beregn: (1 poeng)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

Alternativ 2

1. Beregn: (1 poeng)

2. Forenkle uttrykket: 1 poeng hver

a) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6

3. Løs ligningen: (2 poeng)

4. Forenkle uttrykket: (2 poeng)

5. Finn verdien av uttrykket: (3 poeng)

IX. Oppsummering av leksjonen.

Hvilke formler og regler husket du i timen?

Analyser arbeidet ditt i klassen.

Elevenes arbeid i klassen vurderes.

X. Lekser. K: R IV (gjenta) art. 156-157 nr. 4 (a-c), nr. 7 (a-c),

I tillegg: nr. 16

applikasjon

Evalueringspapir

Navn/navn/student_____________________________________________________

Kort nr. 1

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 2

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) og 1\2 = 2\3

Dekoder

Kort nr. 1

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 2

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) og 1\2 = 2\3

Dekoder

Kort nr. 1

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 2

1) X 1\3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kort nr. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) og 1\2 = 2\3

Dekoder

Den aritmetiske operasjonen som utføres sist når verdien av et uttrykk beregnes, er "master"-operasjonen.

Det vil si, hvis du erstatter noen (hvilken som helst) tall i stedet for bokstaver og prøver å beregne verdien av uttrykket, så hvis den siste handlingen er multiplikasjon, så har vi et produkt (uttrykket er faktorisert).

Hvis den siste handlingen er addisjon eller subtraksjon, betyr dette at uttrykket ikke er faktorisert (og derfor ikke kan reduseres).

For å forsterke dette, løs noen eksempler selv:

Eksempler:

Løsninger:

1. Jeg håper du ikke hastet med å klippe og? Det var fortsatt ikke nok å "redusere" enheter som dette:

Det første trinnet bør være faktorisering:

4. Legge til og trekke fra brøker. Redusere brøker til en fellesnevner.

Å addere og subtrahere vanlige brøker er en kjent operasjon: vi ser etter en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne.

La oss huske:

Svar:

1. Nevnerne og er relativt prime, det vil si at de ikke har felles faktorer. Derfor er LCM for disse tallene lik produktet deres. Dette vil være fellesnevneren:

2. Her er fellesnevneren:

3. Her konverterer vi først og fremst blandede brøker til upassende, og deretter i henhold til det vanlige skjemaet:

Det er en helt annen sak om brøkene inneholder bokstaver, for eksempel:

La oss starte med noe enkelt:

a) Nevnere inneholder ikke bokstaver

Her er alt det samme som med vanlige numeriske brøker: vi finner fellesnevneren, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne:

Nå i telleren kan du gi lignende, hvis noen, og faktor dem:

Prøv selv:

Svar:

b) Nevnere inneholder bokstaver

La oss huske prinsippet om å finne en fellesnevner uten bokstaver:

· først og fremst bestemmer vi de felles faktorene;

· så skriver vi ut alle fellesfaktorene en om gangen;

· og multipliser dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

For å bestemme fellesfaktorene til nevnerne, deler vi dem først inn i primfaktorer:

La oss understreke de vanlige faktorene:

La oss nå skrive ut de vanlige faktorene én om gangen og legge til alle de ikke-vanlige (ikke understrekede) faktorene:

Dette er fellesnevneren.

La oss gå tilbake til bokstavene. Nevnerne er gitt på nøyaktig samme måte:

· faktor nevnerne;

· bestemme vanlige (identiske) faktorer;

· skrive ut alle vanlige faktorer én gang;

· multiplisere dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

Så, i rekkefølge:

1) faktor nevnerne:

2) bestemme vanlige (identiske) faktorer:

3) skriv ut alle de vanlige faktorene én gang og multipliser dem med alle andre (ikke-understrekede) faktorer:

Så det er en fellesnevner her. Den første brøken må multipliseres med, den andre - med:

Forresten, det er ett triks:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorene i nevnerne, bare alle med ulike indikatorer. Fellesnevneren vil være:

til en grad

til en grad

til en grad

til en grad.

La oss komplisere oppgaven:

Hvordan få brøker til å ha samme nevner?

La oss huske den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Ingen steder står det at det samme tallet kan trekkes fra (eller legges til) fra telleren og nevneren til en brøk. For det er ikke sant!

Se selv: ta en hvilken som helst brøk, for eksempel, og legg til et tall til telleren og nevneren, for eksempel . Hva lærte du?

Så en annen urokkelig regel:

Når du reduserer brøker til en fellesnevner, bruk kun multiplikasjonsoperasjonen!

Men hva må du multiplisere med for å få?

Så multipliser med. Og multipliser med:

Vi vil kalle uttrykk som ikke kan faktoriseres "elementære faktorer."

For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nei: det kan faktoriseres.

Hva med uttrykket? Er det elementært?

Nei, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede lest om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorene du dekomponerer et uttrykk i med bokstaver er en analog av de enkle faktorene du dekomponerer tall i. Og vi vil håndtere dem på samme måte.

Vi ser at begge nevnerne har en multiplikator. Det vil gå til fellesnevneren til den grad (husker du hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en felles faktor, noe som betyr at den første brøken ganske enkelt må multipliseres med den:

Et annet eksempel:

Løsning:

Før du multipliserer disse nevnerne i panikk, må du tenke på hvordan du kan faktorisere dem? De representerer begge:

Flott! Deretter:

Et annet eksempel:

Løsning:

La oss som vanlig faktorisere nevnerne. I den første nevneren setter vi den ganske enkelt utenfor parentes; i den andre - forskjellen mellom kvadrater:

Det ser ut til at det ikke er noen felles faktorer. Men hvis du ser nøye etter, er de like... Og det er sant:

Så la oss skrive:

Det vil si at det ble slik: inne i parentesen byttet vi begrepene, og samtidig endret tegnet foran brøken til det motsatte. Vær oppmerksom på at du må gjøre dette ofte.

La oss nå bringe det til en fellesnevner:

Har det? La oss sjekke det nå.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Svar:

Her må vi huske en ting til - forskjellen på kuber:

Vær oppmerksom på at nevneren til den andre brøken ikke inneholder formelen "kvadrat av summen"! Kvadraten av summen vil se slik ut: .

A er det såkalte ufullstendige kvadratet av summen: det andre leddet i det er produktet av det første og siste, og ikke deres dobbeltprodukt. Det partielle kvadratet av summen er en av faktorene i utvidelsen av forskjellen av terninger:

Hva skal jeg gjøre hvis det allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først av alt, la oss sørge for at det maksimale antallet faktorer i nevnerne er det samme:

Merk: Hvis du endrer tegnene innenfor en parentes, endres tegnet foran brøken til det motsatte. Når vi endrer tegnene i andre parentes, endres tegnet foran brøken igjen til motsatt. Som et resultat har det (tegnet foran brøken) ikke endret seg.

Vi skriver ut hele den første nevneren i fellesnevneren, og legger så til alle faktorene som ennå ikke er skrevet, fra den andre, og deretter fra den tredje (og så videre, hvis det er flere brøker). Det vil si at det blir slik:

Hmm... Det er klart hva man skal gjøre med brøker. Men hva med de to?

Det er enkelt: du vet hvordan du legger til brøker, ikke sant? Så vi må få to til å bli en brøkdel! La oss huske: en brøk er en divisjonsoperasjon (telleren deles på nevneren, i tilfelle du har glemt det). Og det er ikke noe enklere enn å dele et tall på. I dette tilfellet vil ikke selve tallet endre seg, men blir til en brøkdel:

Akkurat det som trengs!

5. Multiplikasjon og deling av brøker.

Vel, den vanskeligste delen er over nå. Og foran oss er det enkleste, men samtidig det viktigste:

Fremgangsmåte

Hva er fremgangsmåten for å beregne et numerisk uttrykk? Husk ved å beregne betydningen av dette uttrykket:

Har du telt?

Det burde fungere.

Så la meg minne deg på det.

Det første trinnet er å beregne graden.

Den andre er multiplikasjon og divisjon. Hvis det er flere multiplikasjoner og divisjoner samtidig, kan de gjøres i hvilken som helst rekkefølge.

Og til slutt utfører vi addisjon og subtraksjon. Igjen, i hvilken som helst rekkefølge.

Men: uttrykket i parentes vurderes utenfor tur!

Hvis flere parenteser multipliseres eller divideres med hverandre, regner vi først ut uttrykket i hver av parentesene, og deretter multipliserer eller dividerer vi dem.

Hva om det er flere braketter inne i brakettene? Vel, la oss tenke: et eller annet uttrykk er skrevet innenfor parentes. Når du beregner et uttrykk, hva bør du gjøre først? Det stemmer, beregn parentesene. Vel, vi fant det ut: først beregner vi de indre parentesene, så alt annet.

Så prosedyren for uttrykket ovenfor er som følger (den gjeldende handlingen er uthevet i rødt, det vil si handlingen jeg utfører akkurat nå):

Ok, det hele er enkelt.

Men dette er ikke det samme som et uttrykk med bokstaver?

Nei, det er det samme! Bare i stedet for aritmetiske operasjoner, må du gjøre algebraiske operasjoner, det vil si handlingene beskrevet i forrige avsnitt: bringe lignende, legge til fraksjoner, redusere fraksjoner og så videre. Den eneste forskjellen vil være handlingen med å faktorisere polynomer (vi bruker ofte dette når vi jobber med brøker). Oftest, for å faktorisere, må du bruke I eller ganske enkelt sette fellesfaktoren ut av parentes.

Vanligvis er målet vårt å representere et uttrykk som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

La oss forenkle uttrykket.

1) Først forenkler vi uttrykket i parentes. Der har vi en forskjell på brøker, og målet vårt er å presentere det som et produkt eller kvotient. Så vi bringer brøkene til en fellesnevner og legger til:

Det er umulig å forenkle dette uttrykket ytterligere alle faktorene her er elementære (husker du fortsatt hva dette betyr?).

2) Vi får:

Multiplisere brøker: hva kan være enklere.

3) Nå kan du forkorte:

OK, det er over nå. Ikke noe komplisert, ikke sant?

Et annet eksempel:

Forenkle uttrykket.

Prøv først å løse det selv, og først deretter se på løsningen.

Løsning:

Først av alt, la oss bestemme rekkefølgen av handlinger.

La oss først legge til brøkene i parentes, så i stedet for to brøker får vi en.

Deretter skal vi gjøre deling av brøker. Vel, la oss legge til resultatet med den siste brøken.

Jeg vil nummerere trinnene skjematisk:

Nå skal jeg vise deg prosessen, og farge den gjeldende handlingen i rødt:

1. Hvis det er lignende, må de bringes umiddelbart. Uansett når lignende oppstår i landet vårt, er det tilrådelig å ta dem opp umiddelbart.

2. Det samme gjelder for å redusere brøker: så snart muligheten til å redusere dukker opp, må den utnyttes. Unntaket er for brøker som du legger til eller trekker fra: hvis de nå har de samme nevnerne, bør reduksjonen stå til senere.

Her er noen oppgaver du kan løse på egen hånd:

Og det som ble lovet helt i begynnelsen:

Svar:

Løsninger (kortfattet):

Hvis du har taklet minst de tre første eksemplene, så anser deg selv for å ha mestret emnet.

Nå til læring!

KONVERTERE UTTRYKK. SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grunnleggende forenklingsoperasjoner:

• Tar med lignende: for å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og tilordne bokstavdelen.
• Faktorisering:å sette den felles faktoren ut av parentes, bruke den osv.
• Reduserer en brøkdel: Telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, noe som ikke endrer verdien av brøken.
  1) teller og nevner faktorisere
  2) hvis teller og nevner har felles faktorer, kan de krysses ut.

  VIKTIG: kun multiplikatorer kan reduseres!

• Legge til og trekke fra brøker:
  ;
• Multiplisere og dele brøker:
  ;